科学中的数学定律是真理，牛顿提供了一整套的科学方法，开创了科学的一个新纪元，并因之加强和深化了数学的作用。哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡都证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合。统治17世纪的哲学或科学方法论由笛卡尔系统地阐述和发展，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为几何学。几何学这个词被他和其他人常常用作数学的同义词。笛卡尔的方法论被大多数牛顿时代以前的人所采纳，尤其是惠更斯，他认为，科学具有另外一种附加的功能，即提供一个自然现象的物理解释。

一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。根据这种哲学，牛顿改变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物理学假设，从而使预言具有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。

伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿却解答了一个更为深广的问题∶能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤其是微积分做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密告诉了牛顿。

由运动学第一定律可以很清楚地知道，行星受一个被吸往太阳的力，如果没有这个力，每一颗行星将作直线运动。牛顿吸收了他的同时代人所作出的推想，即在任何两个质量为m和M，相距为r的物体之间的引力F，可由以下公式

牛顿还将伽利略的地上物体运动定律进行普遍推广，这些推广现在称之为牛顿运动三定律。就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。牛顿不仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融汇起来，而且将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前。

在18世纪，数学家们，同时也是伟大的科学家们继承了牛顿的想法，拉格朗日的《分析力学》（1788年）可视作是牛顿数学方法的典范。在这本书中，力学完全数学化地处理，与物理过程无甚联系。牛顿力学和天文学的方法，也被用于处理物理学一些较新的分支，如流体力学、弹性力学和电磁学。定量的、数学化的方法构成了科学的本质，真理大多存在于数学之中。

18世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数学和科学中的数学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。伯努利家族，还有欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他许多人继续对自然进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉1741年所言∶“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。”

数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设计。为了继续牛顿描述和预言天体运动的工作，人们在天文学上所做的努力最多。牛顿的主要理论，即行星的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和一颗行星时才正确，他对此也很清楚。但在牛顿时代和几乎整个18世纪，人们已得知有6颗行星，每一颗相互吸引而所有的行星又被太阳吸引。更进一步，一些行星，如地球、木星、土星均有卫星，因此椭圆形轨道会受到干扰。那么，真正的轨道又是什么呢？所有18世纪的伟大数学家们都在考虑这个问题。

问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够。计某种方法以测定第三个物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物体，并可依此类推下去。然而，即使到了今天，就算是三个物体运动的一般问题也还没有确切的解答，不过，人们已经设计出近似程度越来越好的方法。

天文学中另一辉煌的成就应归功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。人们观测到月球和行星的运动不很规则，这些不规则的运动可能意味着行星将越来越远离太阳或是移向太阳。拉格朗日和拉普拉斯证明了，人们所观测到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，因而它们的运动基本上是稳定的。这个世纪的天文学工作都收录在拉普拉斯恢宏的科学巨著《天体力学》中，这本书在1799到1825年间共出版了五卷。

除了天文学以外，光学这门学科甚至在古希腊时代就已经部分数学化了。17世纪早期显微镜和望远镜的发明极大地激发了人们研究光学的兴趣，并且像古希腊时代一样，17、18世纪的每一位数学家都致力于这一领域的研究。在17世纪笛卡尔就已经发现了托勒密求而无获的光折射定律。罗伊默注意到光速是有限的，而牛顿则发现白光是从红到紫所有颜色的光的混合物。这两个事实极大地激发了人们对光学的兴趣。牛顿在《光学》一书中大力提倡这门学科并将其归功于显微镜与望远镜的改进。在这里，数学仍然是主要的工具，而欧拉关于光学的一部三卷著作则是另外一个里程碑。

但光的物理本质却一点也不清楚。牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为光是波的运动，虽然并不是通常意义的波。而欧拉却是第一个用数学处理光振动并得出光的运动方程的人。他力主光的波动本质并在这个问题上成为唯一反对牛顿的人。19世纪早期菲涅尔和托马斯·扬的工作都为他的理论作了辩护。但是光的本质即便在那时也没有变得更清楚些，数学定律依然占据主导地位。现在被人们普遍接受的光理论、电磁理论，在那时离诞生还有50年之遥。

18世纪时，人们还开辟了一些新的研究领域，并且至少取得了部分成功。第一个就是乐音的数学描述和分析。这一过程颇为冗长，其起源于对一根振动弦，比方说，一根小提琴弦发出的声音的研究，丹尼尔·贝努利、达兰贝尔、欧拉及拉格朗日，对此均做出了贡献。但在对其进行数学分析时，他们之间产生了严重分歧，直到19世纪初傅立叶的工作问世后，这种分歧才得以消除。尽管如此，在18世纪，这方面的研究仍然取得了巨大的进展。我们现在知道，每个乐音都是基音和泛音组成，泛音的频率，用音乐术语来讲就是音高，都是基音频率的整数倍，这些已在18世纪大师们的著作中明确指出，在今天的录音及播放设备，如电话、电唱机、收音机和电视机的设计中都是最基本的知识。

还有一个数学物理的分支至少也是起源于18世纪，即对流体（气体或液体）及流体中物体运动的研究。牛顿考虑过这样的问题∶一个物体欲在流体中以最小的阻力前进，应当取什么样的形状?在丹尼尔·贝努利的奠基性著作《流体动力学》中，他顺便提及，这个理论可用于描述人体动脉和静脉中血液的流动。随后，欧拉的一篇重要文章（1755年），推导出了可压缩流体的运动方程。他写道∶

如果我们仍不能透彻领悟有关流体运动的完整知识，那么归结其原因，并非因为我们对力学或对已知的运动原理认识不足，而是因为（数学）分析本身背弃了我们，因为所有的流体运动理论已经归结于分析公式的求解了。

事实上，流体理论比欧拉想象的要复杂得多，以后的70年，又增加了许多知识。比方说，欧拉忽视了粘体。然而，可以说，欧拉创立了可用于船舶和飞机运动的流体力学。

大自然是数学化的，而上帝肯定是世间万事万物的设计者且是最有效的设计者，对这种观点，如果说18世纪的人还需什么另外的佐证外，他们已在其他的数学发现中找到。海伦证明了光经过一面镜子的反射，从P点至Q点遵循最短的路线，因为光在此以匀速运动，所以最短距离即最少时间。

17世纪的费马作为数学巨擘之一，在相当有限的事实基础上，证明了他的最少时间原理。该原理认为，光在从一点到另一点的过程中，总是选择所需时间最短的路径，显然上帝不仅让光服从数学定律，还让其遵循最短路径。当费马成功地从笛卡尔先前发现的光的折射定律中得到这一原理时，他愈发相信他的原理的正确性了。

到18世纪初，数学家们对自然界总试图将某些重要量取成极大或极小值这一事实有了一些很鲜明的实例。惠更斯起初也反对费马的原理，他认为费马原理不能解释光在连续变化的介质中传播时的现象。但甚至牛顿第一运动定律，即一个运动的，不受任何力干扰的物体，将作直线（最短路线）运动，也是自然界力图节约的范例。

18世纪的人们确信∶因为一个完美的世界不能容忍浪费，所以自然的作用应该是花费最少即能达到目的，于是，一个寻找普遍原理的工作开始了。此种原理的第一个公式由莫帕图伊斯提出。1744年，在进行光的理论的研究时，莫帕图依斯在他题为《迄今为止看起来似乎不相容的自然界不同法则的协调性》的论文中提出其著名的最小作用原理。

最小作用原理是由拉格朗日阐明并推广的。作用成为基本能量，从这个基本原理出发，可以推导出更多的力学问题的解答，这个原理成了变分法（由拉格朗日在欧拉所作初步工作的基础上创立的一个新的数学分支）这门学科的核心。哈密尔顿对这个原理作了更进一步的推广，今天，其是力学中最富内涵的原理，同时也成为物理学其他分支中类似的原理，称为变分原理的范例。

数学支配一切，18世纪最伟大的智者对此深信不疑。