卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold），以卡拉比（Eugenio Calabi）和丘成桐（Yau Shingtung）命名，是从黎曼几何和代数几何中产生的，在弦论和镜面对称理论中起了显著的作用。

为了解释卡拉比–丘流形究竟是什么，我们先回忆一下实流形上定向的概念。

实流形是一种数学概念，它可以被描述为一个局部类似欧几里得空间的空间。具体来说，一个实流形是一个拓扑空间，其每个点都有一个邻域与欧几里得空间同胚。这意味着一个实流形可以被看作是由欧几里得空间的无限小块组成的空间。

实流形的例子包括平面、球面和环面等。它们在局部上与欧几里得空间同胚，并且可以用欧几里得空间中的坐标系来描述它们的性质。

实流形是许多数学领域的基础，如微积分、拓扑学和几何学等。它们具有许多重要的性质，例如可微性、流形上的积分和流形上的微分方程等。

如果在一个实流形上可以取局部坐标系，而且在两个坐标邻域相交的部分上，两个局部坐标

间有正的雅可比行列式

就说这个流形是可定向的。

雅克比行列式是一个数学概念，用于衡量函数变量之间的变化率。给定一个n维向量值函数f(x1,x2,...,xn)，其中xi是实数变量，它的雅克比行列式J(f)是一个实数，表示在点(x1，x2，...，xn)处函数f在各个变量方向上的变化率。

雅克比行列式大于0的含义是，在函数变量的空间中，函数f的变化不会改变该空间的方向，即不会改变该空间的定向。这种性质在微积分、几何学和物理学中都有广泛的应用。

卡拉比–丘流形就是这种可定向流形的自然的复类比。现在这个流形是复的，而对每一个局部坐标系

都有全纯函数。

全纯函数是一类在复平面上有定义的复变函数，它在其定义域上处处可微，并且在该域的每个点处都是解析函数。换句话说，全纯函数是复变函数的一种，它的导数在其定义域内处处存在。

至关重要的是f处处不为零的情况，这时，就说这个复流形是卡拉比–丘流形。这里也有一个相容性条件：若

是另一个局部坐标系，则相应的全纯 n 形式

之间应有方程式

注意，如果把这个定义里的复的名词都换成相应的实的名词，就得到了实的可定向流形。所以非形式地说，卡拉比–丘流形可以设想为具有复定向的复流形。

继续之前，先略讲一点复几何和凯勒几何。一个复流形就是一个局部看起来像是

的结构。具体说来，就是在其每一点都可以找到复坐标

而在两个局部坐标z和

的坐标邻域相交处

是2^b的全纯函数。

这样、复流形上的全纯函数的概念是有意义的，而且与坐标的选择无关。这样，复流形的局部几何确实就像是C^n的开集合，而其在一点处的切空间就和整个C^n一样。

厄米特矩阵（Hermitian Matrix）是指一个复数域上的方阵，满足矩阵的转置共轭等于其本身，即

厄米特矩阵在量子力学中非常重要，因为它们对应于一个自己共轭的算符，也就是一个物理量的测量。例如，位置、动量和能量等物理量对应的算符都是厄米特算符，它们的本征态就是厄米特矩阵的特征向量。厄米特矩阵还可以用于描述量子系统的哈密顿量。

在复向量空间上考虑由厄尔米特矩阵

定义的厄尔米特内积是很自然的，这里取

为基底。在复流形上，切空间上的厄尔米特内积称为一个“厄尔米特度量”，而在一个坐标基底下由依赖于位置的厄尔米特矩阵

来表示。

在黎曼流形上，可以把一个向量沿一路径移动，而且使它保持长度为常值并且“指向相同的方向”。曲率就表示这样一件事实：一个向量到了路径的终点时会偏离自己 （原来的方向） 而绕过一定大小的角度，如果这个路径是一个闭环，这个向量回到路径起点时会成为一个新的向量。一个好例子是考虑球面上闭的路径：从北极出发，沿一经线走到赤道，再沿赤道走1/4个赤道，最后再沿一条经线回到北极。

当旅行完成时，一个出发时指向南方的“常值”向量，在再次回到北极时，将会旋转过90°。对于每一个闭环，都会得到一个"完整矩阵"（holonomy matrix），把起始的向量变成终结的向量。这些矩阵所成的群称为这个流形的完整群。因为在这个过程中，向量的长度未变，所以完整群应该在保持长度的矩阵的群——正交群0（m）内，这里 m是这个黎曼流形的维数。如果这个流形是可定向的，完整群必在SO（m）中，这只要通过移动有定向的基底向量就可以看出来。

每一个复维数为n的复流形同时也是实维数为m=2n的实流形，而且可以认为它以原来的复坐标z^j的实部和虚部为其实坐标。例如，复坐标方向可以乘以i=√-1这件事实蕴含了在这样得出的实流形的实的切空间上必存在一个算子其平方为-1。这个算子的本征值为±i。可以认为它们分别代表"全纯方向"和"反全纯方向"。厄尔米特性质表明，这两个方向是正交的。如果在绕过闭环一周后。它们仍然正交，就说这个流形是凯勒流形。这意味着其完整群是酉群U（n）的子群（这个酉群本身也就是SO（2m）的子群，就是说，复流形总是有实定向的）。凯勒性质有一个很优美的局部的刻画方法：若

是厄尔米特度量在一个坐标邻域中的分量，则在此邻域中存在一个函数φ使得

给出一个复定向（就是上面讲的卡拉比–丘流形的不用度量的定义）一个相容的凯勒结构会导致其完整群在

内，这是实的可定向的自然的类比。这是卡拉比–丘流形的第二个用度量来表示的定义。

卡拉比提出了下面的猜想：任给一个复维数为n的凯勒流形，以及任意的复定向，必存在一个函数u和一个新的凯勒度量

在局部坐标下表示为

而且仍与原来的复定向相容。用方程来表示相容条件就是

这里f就是上面讨论过的全纯定向函数。所以，用度量来表示的卡拉比–丘流形的定义就是一个可怕的完全非线性偏微分方程。卡拉比证明了它的解的唯一性，而丘成桐证明了这个方程解的存在性。所以，事实上，卡拉比–丘流形的度量定义是由它的凯勒结构及其复定向唯一决定的。

丘成桐的定理确定了在一个流形上，具有完整群SU（n）以及复定向的度量的空间，对应于不等价的凯勒结构的空间．后一个空间很容易用代数几何的技巧来探讨。

爱因斯坦的引力理论，即广义相对论，建立了黎曼时空流形的度量必须满足的方程。这个方程中涉及了3个张量：度量张量、里奇（Ricci）曲率张量，以及物质的能量动量张量。一个里奇曲率为零的流形，当没有物质时是这个方程的一个解，而且是一个爱因斯坦流形的特例。一个具有唯一的SU（n）完整群的卡拉比–丘流形具有零里奇曲率，所以在广义相对论中是有意义的。

理论物理学的一个基本问题是如何把爱因斯坦理论融入粒子的量子理论中。这个事业称为量子引力理论。卡拉比–丘流形在首选的量子引力理论即弦论方面起突出的作用。

在弦论中，基本的对象是1维的"弦"。弦在时空里的运动用一个2维的轨迹来描述，这个轨迹称为世界叶（worldsheets），所以世界叶的每一点都用此点在时空里的位置来标记。于是，可以这样来构造弦论，即把它作为从2维的黎曼曲面到时空流形 M 的映射的量子场论。对这个2维的曲面应该赋以一个黎曼度量，而可供考虑的黎曼度量形成了一个无限维空间。这意味着我们必须在2维中解决量子引力的问题——这个问题和它的4维的同伴一样，太难了。然而，如果2维的世界叶理论是共形的（即在局部的尺度变换下是不变的），则留下的就只是一个共形不等价度量的有限维空间，而这个理论就能适当地定义。

卡拉比–丘条件就是从这样的考虑中产生的。要求2维理论是共形的，使得弦论有意义、实质上就是要求时空的里奇张量为零。这样，2维条件引导出一个时空方程，而且恰好就是无物质的爱因斯坦方程。对这个条件还要再加上一个"唯象的"判据，即这个理论应该具有“超对称”，就是要求时空流形M是复流形。这两个条件合在一起意味着 M 是一个以 SU（n）为完整群的复流形，就是一个卡拉比–丘流形。根据丘成桐的定理，这种M的选择很容易用代数几何的方法来描述。

我们要提醒一下，弦论有一种提炼，称为"拓扑弦"，对它也可以给予一个严格的数学框架。卡拉比–丘流形既是辛（symplectic）的又是复的，这就会导出拓扑弦的两个版本，分别称为A和B，而都可以与卡拉比–丘流形连接起来。镜面对称是一个值得注意的现象，它把A版本的卡拉比–丘流形与另一个完全不同的"镜面伙伴"的B版本连接起来。这样一种等价关系的数学后果是极为丰富的。