八

下

八下数学 | 期中必考题型

【构造中位线】5种常用方法

方法一

倍长法构造三角形的中位线

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝1/2CF.

证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝1/2AN.

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，

∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.

∴∠BNF＝∠BFN.

∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，

∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.

又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABN.

在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.

∴CF＝AN. ∴ME＝1/2AN＝1/2CF.

方法二

已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线

如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.

证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝1/2BF，NH＝1/2AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，

∴AE＝BF.

∴MH＝NH.

∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，

∴MH∥BF，NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)

＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.

∴NH＝√2/2MN.

∴AE＝2NH＝2×√2/2MN＝√2MN.

方法三

利用角平分线＋垂直构造中位线

如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

解：如图，延长BD交AC于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，

又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．

∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.

∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．

∴DE＝1/2CF＝1/2×4＝2.

方法四

连接两点构造三角形的中位线

如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证：PM＝PN；

证明：如图，连接CD，AE.

由三角形中位线定理可得PM綊1/2CD，PN綊1/2AE.

∵△ABD和△BCE是等边三角形，

∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.

∴PM＝PN.

(2)求∠MPN的度数．

解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC.

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，

∴∠FHG＝120°.

易证四边形PFHG为平行四边形，

∴∠MPN＝120°.

方法五

已知两边中点取第三边中点构造三角形的中位线

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝1/3AC.

证明：如图，取NC的中点H，连接DH，

过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点．

又∵H为NC的中点，

∴DH∥BN.

又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．

∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，

∴AP＝PD.∴AP＝EH，

易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.

∴AN＝NH＝HC，

∴AN＝1/3AC.