中考数学之隐圆

寻旭星 2024-03-29 19:14:51

隐圆是中考选择题和填空题中经常出现的考题,题目多以动态的问题出现,有点、线的运动,或者图形的折叠、旋转等。这一类题对学生的要求比较高,大部分学生拿到题都是完全找不到方向的,更谈不上如何去解答了。

隐圆常见的有以下四种形式,动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆(对角互补或等弦对等角),上述四种动态问题的动点轨迹皆是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等,此类问题综合性强,隐蔽性强,作为填空题和解答题出现的时候很难拿到分数的。以下就四种模型做一个简单的描述,希望对励志拿高分的同学有所帮助。

模型1、动点定长模型(圆的定义)

若P为动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径。

寻找隐圆技巧:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是圆或圆弧.

例:如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,点E在AB上,AE:EB=1:2,在矩形内找一点P,使得∠BPE=60°,则线段PD的最小值为

分析:如图,在BE的上方,作△OEB,使得OE=OB,∠EOB=120°,连接OD,过点O作OQ⊥BE于Q,OJ⊥AD于J.证明点P的运动轨迹是以O为圆心,OE为半径的⊙O,推出当点P落在线段OD上时,DP的值最小,想办法求出OD,OP,可得结论.

详解:解:如图,在BE的上方,作△OEB,使得OE=OB,∠EOB=120°,连接OD,过点O作OQ⊥BE于Q,OJ⊥AD于J.

模型2、定边对直角模型(直角对直径)

固定线段AB所对动角∠C恒为90°,则A、B、C三点共圆,AB为直径

寻找隐圆技巧:一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

例:已知:在△ABC中,AB=AC=6,∠B=30°,E为BC上一点,BE=2EC,DE=DC,∠ADC=60°,则AD的长 .

分析:连接AE,根据等腰三角形的性质及勾股定理得到AE=CE,证明A、D、C、E四点共圆,根据同弧所对圆周角相等,得到∠ADE=30°.过A点作AM⊥DE,易得△AME是等腰直角三角形,从而求出AM长度,在Rt△AMD中,根据30°直角三角形的性质可求AD长度.

模型3、定边对定角模型(定弦定角模型)

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C,则A、B、C、P四点共圆

寻找隐圆技巧:AB为定值,∠P为定角,则P点轨迹是一个圆.

例:如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD交于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________

【分析】根据条件可知:∠DAG=∠DCG=∠ABE,易证AG⊥BE,即∠AHB=90º,

∴点H的轨迹是以AB为直径的圆弧,当D、H、O共线时,DH取到最小值,由勾股定理可求

DH最小

模型4、四点共圆模型(对角互补模型与等弦对等角)

1)若平面上A、B、C、D四个点满足

,则A、B、C、D四点共圆.

条件:1)四边形对角互补;2)四边形外角等于内对角.

2)若平面上A、B、C、D四个点满足,则A、B、C、D四点共圆.

条件:线段同侧张角相等.

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寻旭星

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