画出了二次函数y=ax²+bx+c 的图象，我们就可以从它的图象上看出这个二次函数的一些重要性质。

1、二次函数y=ax²+bx+c的值的上升和下降 我们来观察二次函数y=x²-x+2的图象（图4·13)。可以看出它在对称轴 x=½的左边，从左到右是逐渐下降的；而在对称轴x=½的右边，则是从左到右逐渐上升的。由此可知，当x逐渐增大而保持小于½的时候，函数的值随着逐渐减小；当x取大于½的值而逐渐增大的时候，函数的值随着逐渐增大。

图4.13

例1．从函数 y=3-4x-2x²的图象中，观察当x取什么值的时候，函数的值逐渐增大？逐渐减小？

【解】函数 y =3-4x-2x²的图象如图4.14。它的对称轴是直线 x =-1.

图4.14

从图象上可以看出：

当 x <-1的时候，函数的值随着x的增大而逐渐增大；

当 x >-1的时候，函数的值随着x的增大而逐渐减小．

2．二次函数 y=ax²+bx+c的极大值和极小值

仔细观察函数 y =x²- x +2的图象，还可以看出它的一个重要

特点，就是整个图象都在过抛物线的顶点(½, 7/4）所作的平行于x轴的直线 y =7/4的上方。这就告诉我们，当x=½的时候，对应的函数值y=7/4，要比x取任何其他值时的函数值为小。通常我们说函数y=x²-x+2在x=½的时候有极小值7/4。

这个事实也可从函数y=x²-x+2的解析式中看出。事实上，因为

y=x²-x+2=(x-½)²+(7/4)，

而任何实数的平方不能是负数，所以

(x-½)²≥0

当x=½的时候，等式成立。因此这时的y的值就比x<½和x>½时的y的值要小。这就是说，函数y=x²-x+2当x=½的时候有极小值7/4.

同样，从函数y=-2x²-4x+3的图象中可以看出，这个图象整个位于过抛物线顶点(-1，5)且平行于x轴的直线y=5的下方。这就告诉我们，当x=-1的时候，函数的值y=5，要比x取小于和大于-1时对应的函数值都大。通常我们说，函数y=-2x²-4x+3在x=-1的时候有极大值5.

这个事实也可从函数y=-2x²-4x+3的解析式中看出。事实上，因为

y=-2x²-4x+3=5-2(1+x)²，

这里

(1+x)²≥0

等式在x=-1时成立，所以这时y的值，要比x≠-1时的y的值都大。这就是说，当x=-1时，函数y=-2x²-4x+3有极大值5.

在研究一般的函数y=f(x)的极小值和极大值的时候，我们是就函数在x=a附近的情况来考察的，就是：

如果在x=a的时候，函数f(x)的值，比x略小于和略大于a的时候函数f(x)的值都小，我们说函数f(x)在x=a时有极小值f(a).

如果在x=a的时候，函数f(x)的值，比x略小于和略大于a的时候函数f(x)的值都大，我们说函数f(x)在x=a的时候有极大值f(a).

函数f(x)的极小值和极大值，统称函数f(x)的极值。

注 函数的极值是在一点近旁来考察的，所以是局部性的，它与从某一范围来考察的函数最大值和最小值是有区别的。但是对于二次函数来说，它的极大(小)值就是它的最大(小)值，所以我们可不加区分了。

从上面的例子可以看出，求二次函数的极值，只需找出它的图象的顶点坐标

图片

根据a是正数或负数，就知道：

对于二次函数y=ax²+bx+c，

(1)如果a>0，那么，当x=-(b/2a)的时候，函数有极小值

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(2)如果a<0，那么，当x=-(b/2a)的时候，函数有极大值

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注 在实际解题时，可不必记忆这个结论，只需把函数y=ax²+bx+c

应用配方法写成

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这样就可以直接判断x在取什么值的时候，函数有极小值或极大值。

例2. 求函数

(1)y=x²+4x+7，(2)y=-x²+4x+6，

的极大值或极小值。

【解】(1)∵y=x²+4x+7=(x+2)²+3.

∴函数在x=-2时有极小值3.

(2)∵y=-x²+4x+6=-(x²-4x-6)

=-(x-2)²+10.

∴函数在x=2时有极大值10.

1.画出二次函数y=x²-6x+4的图象，并且从图象上找出：

(1)x取什么值的时候，函数值随x值的增加而增加？随x的增加而减小？

(2)函数在x取什么值的时候有极小值或者极大值？

2.仿照上题那样，画出函数y=-x²+6x-12的图象，并且从图象上研究这个函数的性质。

3.下列函数在x取什么值的时候有极小值或者极大值？函数的极大值或者极小值是什么？

(1)y=x²-x+¼；(2)y=2x²-4x+2

(3)y=2-5x-3x²；(4)y=5+50x-5x².

下期预告：二次函数极值的应用

求二次函数的极值有着许多实际的应用，下面我们举几个例子。

例3.在墙旁的一块空地上，准备靠墙用36米长的篱笆围一块矩形的空地，种植蔬菜。问怎样围法，才能使所围成的园地的面积最大？这时面积是多少平方米？

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