到达下一站或约定会面地点的最短路线是什么？全球定位系统(GPS)已成为大多数人日常生活的一部分。然而，到目前为止，确定手机或其他导航设备准确位置所需的GPS卫星的最低数量仍是一个推测问题。慕尼黑工业大学(TUM)和埃因霍温理工大学(TU/e)的研究人员现已证明，在大多数情况下，使用五颗卫星即可确定精确位置。目前，我们通常可以确保仅与四颗卫星取得联系。

通常，GPS指示我们的位置的精度仅为几米。但是我们都经历过这样的情况：可能的误差增加到几百米，或者指示的位置完全错误。其中一个原因可能是与导航设备视线接触的卫星数量较少，或者卫星的相对对准度不利。

Gregor Kemper，慕尼黑工业大学算法代数教授；Mireille Boutin，埃因霍温理工大学离散代数与几何学教授

GPS如何工作？

GPS卫星配备了极其精确的原子钟，可以随时知道自己的位置。它们不断用无线电波传输时间和位置。移动电话或其他导航设备会从视线范围内的所有卫星接收这些信号。接收器本地时钟的到达时间与卫星时钟记录的传输时间之间的差值对应于信号从卫星传播到接收器所需的时间（“飞行时间”）。由于无线电波以光速传播，因此飞行时间决定了信号覆盖的距离。卫星位置和距离可用于通过方程组计算接收器的位置。

这种简化的描述没有考虑到接收器中的本地时钟不是原子钟的事实。如果它只差百万分之一秒，计算出的位置就会至少差300米。GPS的问题在于，手机或其他导航设备需要确定位置的同时还要确定精确的时间——在相对论中被称为时空。

如果视线范围内的卫星数量太少，系统将无法可靠运行，并提供多个解决方案，即接收器可能位于多个不同的位置。这可能会导致手机指示错误位置或根本不指示位置的情况。到目前为止，获得GPS问题唯一解决方案所需的卫星数量还只是推测。

五颗卫星实现精确定位

埃因霍温理工大学离散代数和几何学教授Mireille Boutin和慕尼黑工业大学算法代数教授Gregor Kemper目前已经得出一个数学证明，即如果有五颗或更多卫星，几乎在所有情况下都可以唯一地确定接收器的确切位置。Gregor Kemper说：“尽管这是一个长期存在的猜想，但没有人能够找到证明。而且它远非简单：我们花了一年多的时间才找到答案。”目前，地球上的每个位置都可以随时与至少四颗卫星进行视距接触。

Kemper说，“粗略地说，只有四颗卫星，GPS问题找到唯一解的概率似乎是50%。证明这一说法是我们下一个项目之一。”如果视距内只有三颗或更少的卫星，GPS导航肯定无法工作。

几何与唯一性

研究人员通过用几何术语描述GPS问题得出了这一证明。他们发现，如果卫星位于双曲面旋转体上，则无法唯一确定接收器的位置。这是一个向所有方向开放的曲面。虽然这个结果是理论上的，但它具有实际好处，可以更好地理解定位的不准确性。

格雷戈尔·肯珀(Gregor Kemper)教授现已给出数学证明，表明只要有五颗或更多卫星，几乎在所有情况下都可以唯一地确定接收器的精确位置。