婆罗摩笈多模型
婆罗摩笈多模型条件:
1)公共顶点:顶点C
2)等线段:BC=DC CE=CG
3)顶角相等:∠DCB=∠GCE=90°
一、基础模型
【问题一 已知中点证垂直】
已知:四边形ABCD、CEFG为正方形,连接BE、DG,I、C、H三点共线
若点I为中点,则CH⊥BE,BE=2IC,S∆DCG=S∆BCE
证明(思路):
①延长IC到点P,使PI=IC,连接PG
先证明∆DIC≌∆GIP(SAS),所以DC=PG,∠DCI=∠P 则DC‖PG
∵四边形ABCD、CEFG为正方形
∴DC=BC CE=CG ∠GCE=∠BCD=90° ∴BC=PG
∵∠PGC= =180°-∠DCG (两直线平行同旁内角互补)
∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG
∴∠PGC=∠BCE
则∆PCG≌∆BEC(SAS) ∴∠PCG=∠CEB
∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°
∴∠CEB +∠ECH=90° ∴∠CHE=90°
∴CH⊥BE
②∵∆PCG≌∆BEC ∴PC=BE ∴BE=2IC
③S∆EBC=S∆PCG=S∆PIG+S∆GCI= S∆DIC+S∆GCI=S∆DCG
【问题二 已知垂直证中点】
已知:四边形ABCD、CEFG为正方形,连接BE、DG,I、C、H三点共线
若CH⊥BE, 则点I为中点,BE=2IC,S∆DCG=S∆BCE
证明(思路):
①分别过点D、G作DM⊥CI与点M,NG⊥CI于点N
∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3
由已知条件可得∆CDM≌∆BCH(AAS) ∴DM=CH CM=BH
同理∆GCN≌∆CEH(AAS) ∴NG=CH NC=HE ∴NG=DM
再证明∆DMI≌∆GNI(AAS) ∴DI=IG MI=NI
则点I为中点
②BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC
③∵S∆BHC=S∆DMC S∆GNC=S∆CHE S∆DMI=S∆GNI
∴S∆DCG= S∆DCI + S∆GNI + S∆CNG= S∆DMC+ S∆GNC= S∆BHC+ S∆CHE= S∆BCE
二、变形
变形一:如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形,连接AC、BD,MN
过点O且与AC交于点N、BD交于点M,则有如下结论:
1)若点N为中点,则MN⊥BD,
2)若MN⊥BD,则点N为中点
3)BD=2ON
4)S∆BOD=S∆AOC
证明(思路):
1)延长MN至点H,使NH=NO,连接HC
先证明∆ANO≌∆CNH(SAS),所以AO=HC,∠AON=∠H 则AO‖HC
再证明∆HOC≌∆BDO(SAS) ∴∠COH=∠ODB HO=BD
∴BD=2ON,S∆BOD=S∆AOC
∵∠COH+∠DOM=90°
∴∠ODB +∠DOM=90° ∴∠OMD=90°
∴MN⊥BD
2)方法一:构造一线三垂直模型(与问题二证明方法相同)
方法二:在BD上截取一点P,使BP=ON,连接OP
先证明∆ANO≌OBP(SAS) ∴∠ANO=∠BPO AN=OP ON=BP
再证明∆NOC≌∆PDO(SAS) ∴NC=OP ON=PD
∴BD=2ON,S∆BOD=S∆AOC
变形二:如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形,连接AC、BD,MN
过点O且与AC交于点N、BD交于点M,则有如下结论:
1)若点N为中点,则MN⊥BD,
2)若MN⊥BD,则点N为中点
3)BD=2ON
4)S∆BOD=S∆AOC
证明(自行证明):
1)延长ON至点H,使ON=NH,连接AH
2)在BD上截取DH=ON,连接OH