婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多模型条件：

1）公共顶点：顶点C

2）等线段：BC=DC CE=CG

3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90°

一、基础模型

【问题一 已知中点证垂直】

已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线

若点I为中点，则CH⊥BE，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE

证明（思路）：

①延长IC到点P，使PI=IC，连接PG

先证明∆DIC≌∆GIP(SAS)，所以DC=PG，∠DCI=∠P 则DC‖PG

∵四边形ABCD、CEFG为正方形

∴DC=BC CE=CG ∠GCE=∠BCD=90° ∴BC=PG

∵∠PGC= =180°-∠DCG (两直线平行同旁内角互补)

∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG

∴∠PGC=∠BCE

则∆PCG≌∆BEC(SAS) ∴∠PCG=∠CEB

∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°

∴∠CEB +∠ECH=90° ∴∠CHE=90°

∴CH⊥BE

②∵∆PCG≌∆BEC ∴PC=BE ∴BE=2IC

③S∆EBC=S∆PCG=S∆PIG+S∆GCI= S∆DIC+S∆GCI=S∆DCG

【问题二 已知垂直证中点】

已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线

若CH⊥BE, 则点I为中点，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE

证明（思路）：

①分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N

∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3

由已知条件可得∆CDM≌∆BCH(AAS) ∴DM=CH CM=BH

同理∆GCN≌∆CEH(AAS) ∴NG=CH NC=HE ∴NG=DM

再证明∆DMI≌∆GNI(AAS) ∴DI=IG MI=NI

则点I为中点

②BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC

③∵S∆BHC=S∆DMC S∆GNC=S∆CHE S∆DMI=S∆GNI

∴S∆DCG= S∆DCI + S∆GNI + S∆CNG= S∆DMC+ S∆GNC= S∆BHC+ S∆CHE= S∆BCE

二、变形

变形一：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN

过点O且与AC交于点N、BD交于点M，则有如下结论：

1）若点N为中点，则MN⊥BD，

2）若MN⊥BD，则点N为中点

3）BD=2ON

4）S∆BOD=S∆AOC

证明（思路）：

1）延长MN至点H，使NH=NO，连接HC

先证明∆ANO≌∆CNH(SAS)，所以AO=HC，∠AON=∠H 则AO‖HC

再证明∆HOC≌∆BDO(SAS) ∴∠COH=∠ODB HO=BD

∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC

∵∠COH+∠DOM=90°

∴∠ODB +∠DOM=90° ∴∠OMD=90°

∴MN⊥BD

2）方法一：构造一线三垂直模型（与问题二证明方法相同）

方法二：在BD上截取一点P，使BP=ON，连接OP

先证明∆ANO≌OBP(SAS) ∴∠ANO=∠BPO AN=OP ON=BP

再证明∆NOC≌∆PDO(SAS) ∴NC=OP ON=PD

∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC

变形二：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN

过点O且与AC交于点N、BD交于点M，则有如下结论：

1）若点N为中点，则MN⊥BD，

2）若MN⊥BD，则点N为中点

3）BD=2ON

4）S∆BOD=S∆AOC

证明（自行证明）：

1）延长ON至点H，使ON=NH，连接AH

2）在BD上截取DH=ON，连接OH