二次函数典型例题20
二次函数是初中数学的重中之重，很多学生的数学都是卡在了函数这里。分享20道常见的例题，附有详细的解析，让孩子对照练习相信会有所帮助。
1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据a的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析即可．
解：当a＞0时，一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴x＝﹣b/2a＜0，故B、C不符合题意，
当a＜0时，一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴x＝﹣b/2a＞0，故A不符合题意．
故选：D．
2、直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a＞0，b＞0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误．
故选：B．
3、在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】当a＞0时，根据二次函数图象的开口方向、对称轴与y轴的关系可排除B、D选项；当a＜0时，由一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小可排除A选项．此题得解．
解：当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴直线在y轴左侧，故B、D不符合题意；
当a＜0时，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故A不符合题意．
故选：C．
4、二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，排除A；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除D；
故选：C．
5、对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣2 C．x＞1 D．x＞0
【分析】化成顶点式即可判断出开口方向和对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，
∴对称轴为x＝﹣1，开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
故选：A．
6、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：
①abc＜0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①由开口向下得到a＜0，由对称轴在y轴右侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上得到c＞0，然后得到abc＜0；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；
③由函数图象的对称轴为x＝1和x＝0时，y＞0得到x＝2时的函数值的正负；
④由函数图象的对称轴为x＝1得到a与b的关系，然后代入a﹣b+c中，即可得到2c与3b的关系；
⑤由函数图象的对称轴为x＝1和开口向下得到当x＝1时，函数值取得最大值，得到a+b+c＞m（am+b）+c，即a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．
解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；
③∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，
∵x＝0时，y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
④∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴﹣b/2a＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣2a+2b﹣2c＝0，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；
⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，
∴当x＝1时，函数值取得最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，
∴正确的结论有3个，
故选：A．
7、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，B，C选项，由x＝1时y＞0可判断选项D．
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c＞0，
故选：D．
8、（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a﹣b＝0
C．3a+c＝0
D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y2
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与y轴的交点即可可对①进行判断；根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；由于x＝1时，y＝0，则得到a+b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
解：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵﹣b/2a＜0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，
∴abc＜0，所以A选项正确，不合题意；
B、∵抛物线对称轴为直线x＝﹣b/2a＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，所以B选项正确，不合题意；
C、∵对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，
∵b＝2a，∴3a+c＝0，所以C选项正确，不合题意；
D、∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以D选项不正确，符合题意．
故选：D．
9、（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，
②a+b＜﹣c，
③4a﹣2b+c＞0，
④3b+2c＜0，
⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．
中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据x＝1时，y＜0即可判断②；根据当x＝﹣2时，y＞0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＜0即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣b/2a＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝1/2b，
∴1/2b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
10、已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据“当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下”可以判断出图象的开口方向并通过对称轴公式“x=﹣b/2a”算出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的特征比较确定的x对应的y值的大小．
解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴y2＞y1，y2＞y3，
∵﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣2﹣（﹣4）＝2，即（﹣1，y1）离对称轴更近，
∴y3＜y1＜y2
故选：C．
11、已知A（﹣
，y1），B（
，y2），C（﹣
，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据二次函数的增减性求解．
解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
∵﹣
＜﹣
＜
＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
12、（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝﹣1最远，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
13、（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，则根据三点横坐标离对称轴越近，即可判断y1、y2、y3的大小．
解：∵函数y＝x2﹣2x+a（a为常数），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），且|1﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣1）|＜|1﹣1|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．
故选：A．
14、（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°
C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
【分析】根据题意作出图象，结合抛物线的对称性质进行解答．
解：如图，
点A为二次函数图象的顶点，当AB＝AC时，直线y＝kx平行于x轴，即k＝0，此时△ABC为等腰直角三角形，不是等边三角形，故选项D不符合题意．
故选：D．
15、（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
16、已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用已知条件得到用字母a表示b，c的式子，代入等式中得到用字母a表示y的代数式，利用配方法将式子变形，列出关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，结合解析式即可求得结论．
解：∵a﹣b＝2，c+3a＝9，
∴b＝a﹣2，c＝9﹣3a，
∴y＝a2+b+c
＝a2+a﹣2+9﹣3a
＝a2﹣2a+7
＝（a﹣1）2+6，
∵非负数a，b，c，
∴2≤a≤3．
∴当a＝3时，y取得最大值为10，
∴m＝10，
当a＝2时，y取得最小值为7，
∴n＝7，
∴m﹣n＝10﹣7＝3，
故选：C．
17、二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（ ）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
18、（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1与y2的大小无法比较
【分析】先根据（﹣n，0）和（n+2，0），求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可．
解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），
∴对称轴为x＝1，
∵抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），
∴2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线的距离离y轴越远，函数值越小，
∴y1＞y2，
故选：B．
19、如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B点左侧），若PA：PB＝1：2，求m的值．
【分析】（1）设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（3，0）代入求解即可；
（2）解法一：设AP＝a，则A（﹣a，m），B（2a，m），分别代入y＝（x﹣1）2﹣4，消去m，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可；
解法二：设AP＝a，利用对称性得2a﹣1＝a+1，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（3，0）代入得0＝a×（3﹣1）2﹣4，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）解：解法一：设AP＝a，
∵AP：BP＝1：2，
∴BP＝2a，
则A（﹣a，m），B（2a，m），
分别代入y＝（x﹣1）2﹣4，可得（﹣a﹣1）2﹣4＝m，（2a﹣1）2﹣4＝m，
∴（﹣a﹣1）2＝（2a﹣1）2，
解得a＝0（舍去）或a＝2，
∴A（﹣2，m），
把（﹣2，m）代入得y＝（x﹣1）2﹣4，得m＝（﹣2﹣1）2﹣4，
∴m＝5．
解法二：设AP＝a，
∵AP：BP＝1：2，
∴BP＝2a，
∴2a﹣1＝a+1，
∴a＝2，
∴A（﹣2，m），
把（﹣2，m）代入得y＝（x﹣1）2﹣4，得m＝（﹣2﹣1）2﹣4，
∴m＝5．
已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝
或m＝
（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或
．
