§5.2 函数的一些重要性质
对比一下函数y=x²和函数y=x³的图象（图5.4)，不难看到它们具有一些不同的性质，例如：
函数 y =x²的图象关于 y 轴对称，但函数 y=x³ 的图象则关于原点对称。
函数 y=x²的图象，在 y 轴的左边是从左到右逐渐下降的，在 y 轴的右边则是从左到右逐渐上升的，但函数 y=x³的图象则是自左到右始终上升的。
函数 y=x²的图象，在x轴的上方，从原点起在 y 轴的两侧同时向上无限伸展，但是函数 y=x³的图象则从原点起向左下方和右上方无限伸展的．
下面我们来研究函数的这些性质．
1．偶函数和奇函数
函数 y=x²的图象关于 y 轴是对称的。我们把具有这种特征的函数叫做偶函数． f(x)是偶函数的标志是：当自变量x取一对互为相反的数的值时，函数的值不变，就是 f(-x)=f(x).
函数y=x³的图象关于原点是对称的。我们把具有这种特征的函数叫做奇函数。f(x)是奇函数的标志是：当自变量取一对互为相反的数的值时，函数的值也是互为相反的数，就是f(-x)=-f(x).
奇函数和偶函数的定义：
一般地说，对于函数f(x)，设x与-x都属于函数的定义域，如果f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。
函数奇偶性的判定：
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它的判定方法可以直接根据奇函数和偶函数的定义：对于定义在区间(a，b)内的函数f(x)，如果有
(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；
(2) f(-x)=f(x).
那么函数f(x)是偶函数。
如果有
(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；
(2) f(-x)=-f(x).
那么函数f(x)是奇函数。
如果有
(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；
(2) f(-x)≠±f(x).
那么函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
注意：如果上述两个条件中有一个条件不满足，就可以断定函数f(x)没有奇偶性。我们在利用奇函数和偶函数的定义进行奇偶性的判定时，要充分利用给定函数式的各种初等运算的已知性质，并进行一定的恒等变形。
例1 下面这些函数，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
(1) f(x)=x⁴+x²；(2) f(x)=x³+x；(3) f(x)=x+1.
【解】(1)对于f(x)=x⁴+x²，我们有
f(-x)=(-x)⁴+(-x)²=x⁴+x²=f(x)，
∴函数f(x)=x⁴+x²是偶函数。
(2)对于f(x)=x³+x，我们有
f(-x)=(-x)³+(-x)=-(x³+x)
=-f(x)，
∴函数f(x)=x³+x是奇函数。
(3)对于f(x)=x+1，我们有
f(-x)=-x+1.
这里f(-x)≠±f(x)。
∴函数f(x)=x+1既不是奇函数，也不是偶函数。
注 考察一个函数是偶函数、奇函数，或者既不是偶函数也不是奇函数 叫做研究函数的奇偶性。对于一个奇函数或者偶函数，要了解它的性质和图象，只要了解当自变量取正值时的性质和图象就可以了。例如，要作函数y=x³的图象，因为它是奇函数，所以只要作出自变量取正值时的函数图象，就可以利用奇函数的图象必定关于原点对称这一特点，作出自变量取负值时的图象。
例2 假定下面的函数都在定义区间(a，b)内，求证：
(1) 两个偶函数的和是偶函数；
(2) 两个奇函数的和是奇函数；
(3) 两个偶函数的乘积是偶函数；
(4) 两个奇函数的乘积是偶函数；
(5) 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
证明：设f₁(x)，f₂(x)为偶函数，g₁(x)，g₂(x)为奇函数。记f(x)+g(x)=(f+g)(x)，f(x)·g(x)=(f·g)(x)。
由假设可知，x和-x都在函数的定义是区间(a，b)内。
(1) ∵(f₁+f₂)(-x)=f₁(-x)+f₂(-x)
=f₁(x)+f₂(x)
=(f₁+f₂)(x)，
∴f₁(x)+f₂(x)是偶函数，
即两个偶函数的和是偶函数。
(2) ∵(g₁+g₂)(-x)=g₁(-x)+g₂(-x)
=-g₁(x)-g₂(x)
=-[g₁(x)+g₂(x)]
=-(g₁+g₂)(x)，
∴g₁(x)+g₂(x)是奇函数，
即两个奇函数的和是奇函数。
(3) ∵(f₁·f₂)(-x)=f₁(-x)·f₂(-x)
=f₁(x)·f₂(x)
=(f₁·f₂)(x)，
∴f₁(x)·f₂(x)是偶函数，
即两个偶函数的乘积是偶函数。
(4) ∵(g₁·g₂)(-x)=g₁(-x)·g₂(-x)
=[-g₁(x)]·[-g₂(x)]
=g₁(x)·g₂(x)
=(g₁·g₂)(x)，
∴g₁(x)·g₂(x)是偶函数，
即两个奇函数的乘积是偶函数。
(5)∵(f₁·g₁)(-x)=f₁(-x)·g₁(-x)
=f₁(x)·[-g₁(x)]
=-[f₁(x)·g₁(x)]
=-(f₁·g₁)(x)，
∴f₁(x)·g₁(x)是奇函数，
即偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
习题 5.2(1)1.下面这些函数中，哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
2.二次函数y=ax²+bx+c在什么条件下才是偶函数？它能不能是奇函数？
拓展阅读以后我们会学习三角函数的基本性质，其中包括了奇偶性。
三角函数的基本性质都是指的初等性质。在以后学习了微分和导数后，我们将知道，三角函数还具有连续性和可导性，这两个性质叫做三角函数的分析性质。
三角函数的奇偶性：由三角函数的诱导公式可知，对任意x值，总有
sin(-x)=-sin x，cos(-x)=cos x
tan(-x)=-tan x，
cot(-x)=-cot x.
所以，正弦函数y=sin x，正切函数y=tan x和余切函数
y=cot x都是奇函数，而余弦函数y=cos x是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图象见下图。
由函数图象可以直观看出函数的奇偶性。
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下期预告：名师彻底讲透初等函数(25)函数的有界性
2.有界函数和无界函数
函数y=x²的图象总是在x轴的上方，就是说，函数值总不小于0.我们把具有这种特征的函数叫做有下界的函数。同样，y=-x²的图象总是在x轴的下方，就是说，函数值总不大于0.我们把具有这种特征的函数，叫做有上界的函数。
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