函数的奇偶性与周期性、对称性

寻旭星 2024-04-02 02:30:34
一、判断函数的奇偶性与周期性、对称性的方法技巧 1.函数具有奇偶性包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 常见特殊结构的奇偶函数:f(x)=loga(-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数. 2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程(组),进而得出参数的值.  3.函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.  二、函数的奇偶性与周期性、对称性的常用结论。 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=f(x)(1),则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-f(x)(1),则T=2a(a>0). 三、函数的奇偶性与周期性、对称性的易错点 1、判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 2、函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此. 3、不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.
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