中考几何解析——海盗埋宝模型

寻旭星 2024-04-04 07:01:42

海盗埋宝模型 (3种证明方法)



模型文字概述:从前,某海盗头带着众海盗,用船装着他们抢来的财物,来到一个荒岛上。他们要把这些财物埋下。因为怕时间久了会被人发现,所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现,岛上有三棵树,一棵是A,一棵是B,一棵是C。海盗头对一个水手说:“从A到B拉一根绳子,然后从B出发,沿着垂直于绳子的方向,往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做1号地点。”水手这样做了。

  海盗头又对另一个水手说:“从A到C拉一根绳子,然后从C出发,沿着垂直于绳子的方向,往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做2号地点。”第二个水手也这样做了。

  等水手找到1号、2号地点的时候,海盗头便下令说:“伙计们,我们把财宝埋在这两点的正当中吧!”海盗们把财宝埋好了,上船走了。

  过了几个月,其中一个水手想利用这笔财宝救助难民,于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从,两个人回到岛上。可谁知,A被台风刮走了,没有留下一点儿痕迹,只有另外两棵树还在。水手非常懊恼,觉得他们的美梦要落空了。可是,小侍从却很聪明,他说:“别急,没有A,我一样能把财宝找出来!”

  只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点,过中点作了一条该连线的垂线,沿着该垂线在向岛内走出两棵树连线一半的距离,这时小侍从对水手说:“这儿就是藏宝的地点,我们快挖吧!”  水手将信将凝,顺着小侍从指的那一点试着挖了下去,谁知挖了一会儿,果然挖到了海盗们以前埋下的财宝。两个人把财宝全都挖了出来,高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗?

模型数学概述:如图,∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形,点B、C为直角顶点,连接DE,点F为DE的中点,连接BF、CF,则∆BFC为等腰直角三角形,点F为直角顶点。

证明方法一:

1)如图,延长BF至点P,使得BF=FP,连接PE、PC,延长PE交AB于点Q

连接BC

∵ 点F为DE的中点 ∴DF=EF

在∆BDF和∆PEF中,BF=FP

∠BFD=∠PFE ∴∆BDF≌∆PEF(SAS) ∴BD=PE ∠DBF=∠EPF,DF=EF

∴BD‖PE ∴∠DBA=∠EQA

∵∆ABD和∆ACE是等腰三角形 ∴AB=BD ∠DBA=90°AC=AE ∠ACE=90°

∴AB=PE ∠DBA=∠EQA=90°

在四边形EQAC中

∵∠EQA +∠ECA =90° + 90°= 180°

∴∠QAC +∠QEC =360°-180°= 180°

又∵∠PEC +∠QEC= 180° ∴∠QAC=∠PEC

在∆BAC和∆PEC中,AB=PE

∠BAC=∠PEC ∴∆BAC≌∆PEC(SAS) ∴BC=PC ∠ACB=∠ECP,AC=AE

∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE 即∠ACE=∠BCP=90°

∴∆BCP为等腰直角三角形 又∵BF=PE

∴CF⊥BP CF=BF

∴∆BFC为等腰直角三角形

2) 如右图,延长BF至点P,使得BF=FP,连接PE、PC,延长PE交AB延长线于点Q,PQ与AC边相交于点G,连接BC

∵PQ‖BD ∴∠Q=90°

∴∠QAG=∠GEC (8字模型)

∴∠BAC=∠PEC

其它证明过程相同

证明方法二(思路):

将∆DAB沿AB对称得∆PAB,将∆EAC沿AC对称得∆QAC,连接PE,DQ

∵∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形

∴AB=BD ∠DBA=90°AC=CE ∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°

∵∠DAP=∠EAQ ∴∠DAP+∠EAD =∠EAQ+∠EAD 即∠PAE=∠DAQ

则∆PAE≌∆DAQ(SAS) ∴ PE=DQ ∠APE=∠ADQ 则PE⊥DQ(手拉手模型)

∵BF是∆DPE的中位线,FC是∆EDQ的中位线

∴BF=PE,BF‖PE,FC=DQ,FC‖DQ

∴CF⊥BF CF=BF

∴∆BFC为等腰直角三角形

证明方法三(思路):

连接BC,以BC边中点为坐标系原点,建立如图所示坐标系,假设A点坐标(m,n),B(-1,0),C(1,0),

过点D、A、E作BC边垂线,分别与BC边相交于点P、Q、M

已知∆DBP≌∆BAQ,∆CQA≌∆EMC (一线三垂直模型)

∴BP=AQ,BQ=DP

已知AQ=-n,OQ=m BO=1 CO=1

∴BP=-n 则OP=1-(-n)=1+n

BQ=1+m 则DP=1+m

所以点D的坐标为(-(1+n),1+m)

同理QC=EM=1-m,OM=1-(-n)=1+n

所以点E的坐标为(1+n,1-m)

已知点F为线段DE中点,所以点F的坐标为(0,1)

∴∆BFC为等腰直角三角形

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寻旭星

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