海盗埋宝模型 (3种证明方法)



模型文字概述：从前，某海盗头带着众海盗，用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上。他们要把这些财物埋下。因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现，岛上有三棵树，一棵是A，一棵是B，一棵是C。海盗头对一个水手说：“从A到B拉一根绳子，然后从B出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做1号地点。”水手这样做了。

　　海盗头又对另一个水手说：“从A到C拉一根绳子，然后从C出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做2号地点。”第二个水手也这样做了。

　　等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了。

　　过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从，两个人回到岛上。可谁知，A被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树还在。水手非常懊恼，觉得他们的美梦要落空了。可是，小侍从却很聪明，他说：“别急，没有A，我一样能把财宝找出来！”

　　只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点，过中点作了一条该连线的垂线，沿着该垂线在向岛内走出两棵树连线一半的距离，这时小侍从对水手说：“这儿就是藏宝的地点，我们快挖吧！”　　水手将信将凝，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，谁知挖了一会儿，果然挖到了海盗们以前埋下的财宝。两个人把财宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗？

模型数学概述：如图，∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形，点B、C为直角顶点，连接DE，点F为DE的中点，连接BF、CF，则∆BFC为等腰直角三角形，点F为直角顶点。

证明方法一：

1)如图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB于点Q

连接BC

∵ 点F为DE的中点 ∴DF=EF

在∆BDF和∆PEF中，BF=FP

∠BFD=∠PFE ∴∆BDF≌∆PEF（SAS） ∴BD=PE ∠DBF=∠EPF，DF=EF

∴BD‖PE ∴∠DBA=∠EQA

∵∆ABD和∆ACE是等腰三角形 ∴AB=BD ∠DBA=90°AC=AE ∠ACE=90°

∴AB=PE ∠DBA=∠EQA=90°

在四边形EQAC中

∵∠EQA +∠ECA =90° + 90°= 180°

∴∠QAC +∠QEC =360°-180°= 180°

又∵∠PEC +∠QEC= 180° ∴∠QAC=∠PEC

在∆BAC和∆PEC中，AB=PE

∠BAC=∠PEC ∴∆BAC≌∆PEC（SAS） ∴BC=PC ∠ACB=∠ECP，AC=AE

∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE 即∠ACE=∠BCP=90°

∴∆BCP为等腰直角三角形 又∵BF=PE

∴CF⊥BP CF=BF

∴∆BFC为等腰直角三角形

2) 如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB延长线于点Q，PQ与AC边相交于点G,连接BC

∵PQ‖BD ∴∠Q=90°

∴∠QAG=∠GEC （8字模型）

∴∠BAC=∠PEC

其它证明过程相同

证明方法二（思路）：

将∆DAB沿AB对称得∆PAB，将∆EAC沿AC对称得∆QAC，连接PE，DQ

∵∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形

∴AB=BD ∠DBA=90°AC=CE ∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°

∵∠DAP=∠EAQ ∴∠DAP+∠EAD =∠EAQ+∠EAD 即∠PAE=∠DAQ

则∆PAE≌∆DAQ（SAS） ∴ PE=DQ ∠APE=∠ADQ 则PE⊥DQ（手拉手模型）

∵BF是∆DPE的中位线，FC是∆EDQ的中位线

∴BF=PE，BF‖PE，FC=DQ，FC‖DQ

∴CF⊥BF CF=BF

∴∆BFC为等腰直角三角形

证明方法三（思路）：

连接BC，以BC边中点为坐标系原点，建立如图所示坐标系，假设A点坐标（m，n），B(-1,0)，C(1,0)，

过点D、A、E作BC边垂线，分别与BC边相交于点P、Q、M

已知∆DBP≌∆BAQ，∆CQA≌∆EMC （一线三垂直模型）

∴BP=AQ,BQ=DP

已知AQ=-n，OQ=m BO=1 CO=1

∴BP=-n 则OP=1-（-n）=1+n

BQ=1+m 则DP=1+m

所以点D的坐标为（-（1+n），1+m）

同理QC=EM=1-m，OM=1-（-n）=1+n

所以点E的坐标为（1+n，1-m）

已知点F为线段DE中点，所以点F的坐标为（0，1）

∴∆BFC为等腰直角三角形