求动点轨迹方程是解析几何的重要内容，因而也是高考的重点和热点，常考常新，久考不衰．考生一定要掌握常用的求解方法，以便有所遵循．
求轨迹方程需要充分利用题设中的几何条件，寻找动点与已知条件之间的关系，并将其转化为代数式，是求解动点轨迹方程中重要的一步．由于动点的运动规律千变万化，其给出的条件也各不相同，故求动点轨迹方程的方法也就多种多样．本专题将通过具体例题介绍几种求解的方法．
一、动点轨迹的概念
中学阶段只研究平面上的动点的轨迹．我们把平面上具有某种共同属性的动点的集合，叫做该动点的轨迹．动点的轨迹即平面上的点集，它可能是一些孤立的点，一般情况下是曲线（段）．中学阶段主要研究直线（段）或圆锥截线（段）等．
二、曲线与方程
1．曲线和方程的概念
平面直角坐标系的建立，使得平面上的点与有序实数对一一对应起来，进而使曲线与方程对应起来．
某曲线
（视作适合某种条件的动点的轨迹或集合）和一个二元方程
之间，如果存在下列对应关系：
（1）曲线上每一点的坐标都是这个方程的解，即“在、合”；
（2）以这个方程的每一组解为坐标的点都在这条曲线上，即“合、在”，那么，方程
就叫做曲线
的方程，曲线
就叫做方程
的曲线．
运用概念判断曲线和方程的对应关系时，必须注意“两点论”，即（1）“合，在”，（2）“在、合”，两者缺一不可．即要确保其纯粹性（即不能多余）和完备性（即不能缺少），这可以通过检验题目条件和画图解决．
2．曲线和方程思维导图
三、求动点轨迹方程的一般步骤—“五步到位法”
建（建立适当的坐标系）；设（设轨迹上的动点为
）；列（列出动点所满足的条件式）；代（依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为
的方程式）；化（化简所得的方程）．这就是通常所说的“建系、设点、列式、代换、化简”等步聚．从理论上讲，我们还应证明所得轨迹的完备性及纯粹性，其实推导方程的过程便是完备性的证明，而纯粹性的证明常略去，值得强调的是：既然论证略去了，那么我们必须考虑曲线上哪些点不合条件应除掉，通常运用限制方程中
的取值范围的方法，还要指出的是，如果所求轨迹曲线不完备，那么也要运用条件分析、挖掘将其补上．
四、求动点轨迹方程的基本方法
求动点轨迹方程的基本思想方法是，藉助于坐标法．使几何的点集与代数的方程对应起来．因此它的实质是形数对应、形数结合与转化的思想方法的一个具体的应用．
求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径：一是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义，这类题目对计算的要求不髙，主要考查观察、联想的能力；二是利用代数的方法通过消参数得出轨迹方程，计算、对式子的变形是解决问题的关键．
根据动点的不同的运动性质和规律，常用的解题方法有：
1．直译法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系．
2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点．
3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质．
4．代换法．常用于解多动点轨迹问题．它有直角坐标代换，极坐标代换和复数代换之分．
5．参数法．动点
的流动坐标
间不便直接联系时，可考虑选取参数!作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程．
6．交轨法．若动点尸是由两动曲线相交所得，那么可用求两曲线交点的方法解尸的轨迹方程．
7．复数法．以复数面L目出现的动点轨迹问题，常以代换法或比较法或运用加、减、乘的几何意义求解为简．有些直角坐标系下的轨迹问题，也可转化为运用复数法来解．
8．极坐标法．如求动点旋转而成的轨迹，或求与圆锥曲线的焦点弦有关的轨迹等，运用极坐标来解较为简捷．
五、求动点轨迹方程的基本联系
求动点的轨迹方程是一个综合性的课题，渗透性强，牵涉知识面宽．从几何本身看，它与平面图形的基本性质，与直线的倾斜角、斜率、方程，与圆锥曲线的定义，充要条件的概念等密切相关．从代数的角度看，它与代数方程的理论、与解三角形、与加法定理、与复数等知识存在着深刻的内在联系．从题型看，它与一类最值问题也有着千丝万缕的联系．
求动点轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，使我们通过对方程的研究认识曲线的性质，因此，它是培养我们形数转化的数学思想和方法、技巧的最好教材，也是解几中的一个最主要的课题．
我们先介绍直接法求动点的轨迹方程．
