中国人是何时开始认识到负数，并采用计算工具进行正负数运算的？近日，一篇题为《神禾原战国秦陵墓出土涂色算筹初识》的文章，引发了很多人的探究兴趣。
文章提出，神禾原战国秦陵墓出土的象牙算筹，根据筹身施彩的差别可分为红白筹和红黑筹两个主要类别，其与《九章算术》刘徽注释中提到的古代用于正负数运算的“赤黑算”似有关，应是此类计算工具的早期形态。这个发现将中国古代对正负数的认识与实际运用时间提早到了战国晚期，是数学发展史研究的一大收获。
考古发现：秦始皇祖母夏太后墓出土至少61件象牙算筹
这篇文章最早发表于陕西省考古研究院主办的《考古与文物》2023年第3期，近日被多个微信公号转发。此文章所提观点的依据，是陕西省考古研究院在神禾原战国秦陵园大墓的考古发现。
华商报记者查询相关发掘简报了解到，神禾原战国秦陵园位于西安市长安区韦曲街道南侧，2004年7月至2008年6月，陕西省考古研究院对陵园遗址进行了持续的考古发掘工作。
该陵园总面积约17万平方米，由兆沟、陵墙、“亚”字形大墓、从葬坑、建筑基址、门址、道路、排水沟等诸多遗存组成。“亚”字形墓位于陵园中心位置，虽遭严重盗扰、焚烧，仍出土精美器物数百件。
出土文物中，发现有61件象牙器。“均为算筹，皆出自D5，附近有金柄铁削、玉圭、铜匜等物。整体呈长细棒状，截面为圆形，中间稍粗，两端略细。表面光滑，两端截面齐整。多数完整或可复原。长18.3～18.5、直径0.49～0.54厘米，单体重5.7～7.7克。根据筹身彩绘的不同，可分为素白色、红白色、红黑色三类。有2根残筹受沁严重，无法归类。”
根据发掘简报，三类算筹的具体情况为：
“素白筹1根。标本D5:46，较完整。无色彩涂饰。长18.4、体径0.52厘米。”
“红白筹30根。中段为象牙原色，两端各有长3.4厘米的红褐色漆皮。两色间有一圈极细的刻槽为分界线。标本D5:43-1，长18.3、体径0.51、两端彩绘各长3.4厘米。”
“红黑筹28根。中段为黑色，两端各有长3.4厘米的红褐色漆皮。两色之间有一圈极细的刻槽作为分界。从残筹断面可观察到，黑色与象牙筹体结合较为紧密，部分还渗入筹体内部，渗透深度约为0.1～0.2毫米，推测黑色为浸染而成。标本D5:61，保存较完整，通长18.5、两端彩绘各长3.46、体径0.54厘米。”
发掘简报对墓主作了推定：“战国晚期处于秦都咸阳附近杜县（今长安区沈家桥至杜城村一带）东南的‘亚’字形大墓，应是秦国高等级的贵族墓葬。这一时期去世的秦王、后、太子类高等级贵族，葬地多在咸阳或芷阳陵区。而葬地与杜有关的秦的高等级贵族，只有战国晚期的秦始皇的祖母—夏太后。夏太后是秦孝文王的如夫人，称夏姬，为庄襄王母亲，秦始皇的祖母。庄襄王元年（公元前249年）被尊为夏太后。始皇七年，庄襄王母夏太后薨。孝文王后曰华阳太后，与孝文王会葬寿陵。夏太后子庄襄王葬芷阳，故夏太后独别葬杜东。”
记者查询相关资料发现，虽然也有观点认为可能是秦二世胡亥之墓，但大多数专家认为该墓应为夏太后之墓。
墓葬虽经严重盗扰，但随葬品仍能反映出诸多历史信息。简报在最后的“收获与意义”部分特别提到：“涂色不同的象牙算筹则可能为先秦数学发展史研究提供了重要实物资料”。
最新观点：这种红白、红黑筹组合，可能是“赤黑算”早期形态
那么这批象牙算筹对研究先秦数学发展史究竟有什么意义呢？这篇题为《神禾原战国秦陵墓出土涂色算筹初识》的文章，在比较详细地介绍了神禾原出土涂色算筹后，着重从性质认定、涂色算筹使用方式、中国古代正负数的表达及记录方式、神禾原涂色算筹的数学史意义几个层面做了阐述。
文中介绍，神禾原战国秦陵墓发现的象牙算筹均集中散落在早期盗洞D5的偏东侧，近竖井状出口处，该盗洞西端即延伸入椁室内部。牙筹附近分布有金柄铁削、玉圭、铜匜及金花、金扣、珍珠等遗物。从出土位置及遗物种类来看，这些物品原应是放置在椁室内部，属于墓主贴身日用以及较珍贵的器物，是被盗贼移至盗洞下部但未拿走或散落的一部分。
作为算具的算筹，一般与笔、砚、墨、削一类的文具和与计算相关的度量衡器等同出，在生活中常与文具组合使用，这种组合关系理论上也会反映在墓葬中。“60余枚象牙算筹多出土于盗洞之中，原始位置及器物组合信息已经无从确认，但算筹附近散落有多柄金、银柄铁削，或可作为牙筹与文具同出的证据。”
文章还通过材质、截面形状、使用目的等等对比与分析，认为这批象牙器为战汉时期流行的六博游戏中使用的“箸”或“筭”的可能性不大，其算筹属性要大于博筹。
算筹作为古代生产生活的常用工具，应用广泛而持久，早在《论语》中即有记载，也被称为“筹”“算”“策”“筭”等。材质并无严格规定，有竹、木、骨、牙乃至金属筹，多在战国晚期至东汉的墓葬中有所发现。
文献记载汉代使用的算筹一握为271根，但实际考古工作中发现的秦汉墓葬中算筹数量多为20～30枚。复杂的数学运算可能需要一百甚至数百根算筹，但对于非数学家的一般人的计算需求来说，二、三十根足以应付。
文中介绍，成书于两汉之交的《九章算术·方程》章中关于“正负术”的记载，被认为是中国最早对“负数”概念进行说明和使用的珍贵文献。魏晋时期的数学家刘徽对此注释有：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”一般解释为在进行正负数的计算时，用红色算筹代表正数，黑色算筹代表负数。也有说法认为这里指的是用不同摆放方式的算筹代表正负数，或者“邪、正”指的是截面呈三角、方形的不同形状算筹。
北宋沈括在《梦溪笔谈·卷八·象数二》中又提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”以及书中其他关于筹算的记载，如“运筹如飞”等，可知宋代的实际数学运算中也仍然使用赤黑筹。清代中晚期，随着西方传教士的大量进入与西方数学的传播，算书中开始在数值前用减号表达负值，这种表示方式随着西学的流行被逐渐接受。
文章认为，神禾原战国秦陵墓出土的象牙算筹，根据筹身施彩的差别可分为红白筹和红黑筹两个主要类别，其与《九章算术》刘徽注释中提到的古代用于正负数运算的“赤黑算”似有关。而“单独出现的素色算筹两端没有刻划痕迹，可以排除是保存不善导致的掉色。该筹表面十分光滑，抛光较好，可能是作为使用者手中的工具，用于拨动、调整其余算筹以形成算式。”
这批牙筹最大的特征为其上的彩绘，筹身现存的涂色在视觉上表现为“红白”与“红黑”色。此种白黑筹并不见于同时期的文献记载。但是刘徽记录的赤黑算，从使用方式来说，与神禾原牙筹十分相符。注文中赤黑算的应用环境是“今两算得失相反”，说明魏晋时期使用红黑算筹来表示正负数、辅助正负数运算已成定式。
负数概念的出现要早于抽象化的运算法则的确立。一般认为，实际生产生活中存在的得失、盈亏等不同性质的情况提供了负数产生的思想基础。“李俨（1892—1963，中国古代数学史研究专家）认为，负数的产生不晚于秦代，相应的用以表示正负数运算的算筹也应当出现在先秦时期。这时的负数记录与使用方式与汉代算书中体系化的总结可能存在一定差异，最早的赤黑算应当就是两类形态有差别的算筹，用于指代不同的概念。因此，神禾原秦陵墓发现的这种白黑筹的组合可能是赤黑算的早期形态，是先秦时期正负数概念形成以及运算规则探索阶段的成果。”
文章最后提出：“可以推测神禾原出土涂色牙筹可能为刘徽所记述的用于表示正负数的赤黑算的前身。它是战国秦汉时期应用数学发展到了一定程度的产物，也在客观上促进了这一时期数学中关于正负数计算的理论化、规则化。神禾原秦陵墓出土的涂色算筹将中国古代使用正负数概念进行运算的时间提早至战国晚期，相比于《九章算术》中记载的‘正负术’早了两百余年，与国外最早由古印度数学家在公元7世纪提出的正、负数的四则运算法则相比，早了八百余年。”
这篇文章的署名作者为陕西师范大学历史文化学院郭妍利、西北大学文化遗产学院李振飞。
据文章作者之一、研究方向为商周考古的西北大学文化遗产学院博士研究生李振飞介绍，神禾原战国秦陵园大墓考古发掘完成之后，这批材料放到了陕西省考古研究院，他参了与对这批材料的整理工作，看到了这批象牙算筹。
“象牙算筹在以往的秦汉考古也有发现，但这批算筹制作工艺特殊：一是制作、打磨精良，二是在多数算筹两端有特殊的漆皮装饰，与以往发现的算筹都有所不同。我和老师们交流，并自己查阅文献材料，发现在东汉的《九章算术·方程》中提到了‘赤黑筹’。因为文献中只有文本没有图像，所以也不知道‘赤黑筹’的具体形制。但据文本描述，其应当是用于正负数运算的，有赤筹和黑筹两种。把这些信息和神禾原战国秦陵墓出土算筹一对比，自然而然地就会联想到它们之间可能会有关系。”
“我们对这批象牙算筹进行了分析，发现确实可以大概分为红白筹和红黑筹两组，而且数量几乎一致。在梳理了尺寸、数量等信息之后，我们首先认为这批象牙器应该就是用来计数的算筹。而无论红白筹、红黑筹，还是赤筹、黑筹，很明显表现的都是两类相反的标识。在文献记载中，有用两类筹来表示医疗效果的案例，治好的就是正的，没治好的话那就是负的；而部分军队也用筹来计算赏罚，犯了错就是负的，记“负一筭”。这就是一种最朴素、最简单的正负数的观念。而神禾原大墓的墓主，包括发掘者张天恩先生在内的多数学者认为应当是战国秦晚期的夏太后。夏太后位高权重，是秦始皇的祖母，在后宫当中是具有相当地位的，她拥有这样一批算筹，很可能就与赏罚有关。”
“这种赏罚观念或对错观念在继续发展过程中被代数化，自然而然地抽象成为一种正数和负数的概念。所以，我们认为这样一批象牙算筹应当就是《九章算术》中正负数观念的一种早期体现形式。它可能并非直接对应《九章算术》中提到的赤黑筹，但它应当是这种概念的一种前置存在。与一些国外的研究对比，我们发现这种正负数观念在中国出现的是很早的。”
数学史研究学者：负数概念的提出是数学发展的一大进步
研究方向为数学史的西北大学数学系副教授袁敏介绍，让古人们从直观承认负数的存在，的确是一件非常困难的事情，有什么东西要比没有还小呢？负数概念的提出是数学发展的一大进步。对于负数毫不犹豫地承认，在这点上中国遥遥领先于外国。
关于正负数运算法则的记载最早出现在《九章算术》中的“方程”章，这一章是求解多元线性方程组的问题。我国古代数学家（以下简称“中算家”）精心设计的算法程序，类似今天线性代数中对方程组的增广矩阵进行初等变换的消元法。在“方程”求解过程中，为了消元而用一列数去减另一列数时，有可能会遇到小数去减大数的情况，为了保证方程组按筹算法则均能获得结果，引入负数及其运算法则便是摆在中算家面前的唯一选择了。
《九章算术》的注释者刘徽还指出了正负数的本质：正与负的意义，不过是分别两类性质相反的量，因此“正”的未必表示多，“负”的也不一定就意味着少，非常自然地接受负数的概念。当中算家毫无困难地接受负数并建立起正负数四则运算的正确法则的时候，西方数学家却直至文艺复兴时期还在负数问题上一直犹豫徘徊。
多知道些
1、古人如何使用算筹来表示数字？
算筹是算盘发明之前中国最重要的计算工具。算筹的计数法遵循十进位制，以纵横两种排列方式来表示1-9的数目。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。
其具体摆法，横式是一根水平放置的算筹表示1，5以下数字为横放算筹数目的累加，6以上则将一根算筹竖直摆放在上表示5，下面每一根横放的算筹仍表示1，上下两部分累加即为所表示的数目。纵式则是从1-5竖直摆放算筹，6以上的数字用一根横放的算筹表示5。
古人用算筒（袋）盛放算筹，用算板布列算筹进行运算。在计算过程中，算筹是变动的，不留计算过程，只留最终结果。因为数字变化了，摆法就变了。
中国古代用算筹作为计算工具，因此算术的计算也叫筹算。不仅加减乘除四则运算能通过算筹的简单变化计算出来，在《九章算术》中甚至还记载了筹算开平方、开立方的算法。
2、中国在何时引入了阿拉伯数字？
1957年，考古人员在西安市灞桥区十里铺街道秦孟街社区附近的元代安西王府遗址夯土台基中，发现了5块铸有阿拉伯数码字的方形铁板。这些幻方铁板是中国数学最早应用阿拉伯数字的实物，也是13世纪中西文化交流的重要物证。如今收藏于陕西历史博物馆，被认定为一级文物。而埋在台基中盛装它们的石函，被收藏于西安碑林博物馆。
尽管阿拉伯数码很早就进入了中国，却并未在中国普遍使用。这是因为在中国，商代时就有了甲骨文数码，到了周代又发明了算筹。而到了明代时代替算筹普遍使用的珠算，更是被誉为人类数学发展史上的一项重大发明。一直到20世纪初，随着中国对外国数学成就的吸收和引进，现代阿拉伯数字才开始在中国推广使用，算起来也才一百多年。
华商报记者马虎振（象牙算筹照片由受访者李振飞先生提供，其他考古资料照片据《陕西长安神禾原战国秦陵园大墓发掘简报》，阿拉伯数码幻方铁板由陕西历史博物馆供图）
