也许现代物理学最基本的思想是作用原理（action principle）。物理学的任何领域都被这一规则支配。我们将开始一段旅程，从光穿过水的场景开始，最终以量子力学的讨论结束。

光线和费马原理

考虑一束光从A点出发，穿过水面到达B点。这束光的路径是怎样的？我们可以假设它沿直线运动以使距离最小化。然而，在现实中，光线并不是这样传播的。相反，它在空气和水的边界处被折射。

但是为什么呢？1662年，皮埃尔·德·费马找到了答案。他解释，光从一点到另一点的路径使它的传播时间最小化。

费马原理表明，光在两点之间的路径总是使它的传播时间最小化。

根据这一原理，以及光在不同的介质中的速度不同，我们可以用数学推导出斯涅耳折射定律：

斯涅耳折射定律

作用原理

我们之前看到光总是沿着（时间）最短的路径移动。1788年，约瑟夫-路易斯·拉格朗日扩展了这个想法。他提出，任何在空间中运动的粒子都会使其作用最小化。

作用原理指出，运动中的粒子总是沿着使其作用幅度最小的空间路径运动。

但它的“作用”究竟是什么呢？在物理学中，作用是描述物理系统随时间变化的标量。作用是重要的，因为系统的运动方程可以通过静止作用原理（最小作用原理）推导出来。更正式地说，作用是一个数学泛函，它以系统的轨迹（路径）为参数，以实数为结果。通常情况下，不同的路径有不同的作用量。机械系统S的作用，例如，一个球被抛向空中，有这样精确的数学定义，

首先，L称为系统的拉格朗日量，它是系统的动能T与势能V之差。

拉格朗日量就是系统的动能和势能之差

我们把它写成L(t)来表示它是时间的函数。换句话说，当物体在空间中移动时，它总是随时间而变化。由于作用是时间的积分，它是在时间t = t_1和t = t_2之间由曲线L(t)所包围的面积。

拉格朗日量在现实中没有物理意义。它只在数学上有用。

我们如何在空间中找到一条S最小的路径？结果表明，产生最小作用的路径也满足一个叫做欧拉-拉格朗日方程的方程，

欧拉-拉格朗日方程

不用太担心数学细节。我们只需要记住把系统的拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程就能得到它的运动方程。这些运动方程定义了使作用最小化的路径。

回到扔球的例子，把它的拉格朗日量（球的动能减去它的重力势能）插入到欧拉-拉格朗日方程中，就得到了它的运动方程。这些运动方程描述了抛物线路径，假设没有空气阻力。

球以初始角度theta发射的轨迹

无限量子路径

但是当这些物体很小的时候会发生什么呢？例如，单个电子，在这些情况下，我们必须求助于量子力学。1948年，理查德·费曼利用作用原理，将量子力学定义为路径积分，

量子力学的费曼路径积分公式

我们已经知道，运动中的粒子有一条独特的路径，使得它从空间中的一点到另一点的“作用量”最小。此外，这意味着我们知道粒子在任何给定时间在空间中的确切位置。然而，这在量子力学中是不可能的。在量子世界，我们无法知道粒子从A到B的确切路径。相反，我们应该问，

粒子从A到B的概率是多少？

这个问题的答案是通过计算量子系统的路径积分得到的。在此过程中，我们需要考虑从A到B的无限可能的路径，

量子粒子从A点到B点的无限可能路径中的一小部分。

每条路径都被分配了一个概率振幅。粒子从A到B的最终概率是将每条路径的概率振幅相加得到的，不管这条路径有多荒谬。

当我们意识到更合理的路径有更小的作用S和更大的概率振幅时，作用原理就发挥作用了。相反，不合理的路径具有更大的作用和更小的振幅。由于绝大多数可能路径都是不合理的，它们对总概率的贡献很小。所以，

作用S最小的最合理路径对粒子从A到B的概率贡献最大。

这就是费曼路径积分的基本思想。

（最小）作用原理可用于推导牛顿、拉格朗日和哈密顿运动方程，甚至广义相对论。该原理在现代物理和数学中仍然处于中心地位，被应用于热力学、流体力学、相对论、量子力学、粒子物理学和弦理论。