微积分数学中泰勒公式，或者叫泰勒展开式很重要，更重要的是它也很神奇。说它重要，是因为它是数学研究和计算中很重要的工具，的高等数学微分学的教学重点和难点，用途很广很多，相信我们学习过程中见过很多次。而说它神奇，则在于用它让我有种降维打击的错觉。而机智客所谓的降维打击，就是在你的高度我打不过你，那我就像一个傻瓜一样把你拉到我的高度，再用我丰富的有限知识来打败你。好吧，这不是大家认为的降维打击，而是自创的降维打击的新解释。
单看泰勒公式的定义，比之前我们介绍过的微积分基本概念难了那么一点点，是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。泰勒定理就是，函数f(x)在x=a的领域内n+1阶可导，则对于位于这个邻域内的任一x，至少存在一点存在于a和x之间的c，使得f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)/2! (x-a)2+...+f(n)(a)/n! (x-a)n+rn(x)，其中rn(x)=f(n+1)(c)/(n+1)! (x-a)n+1。这个公式就是泰勒公式。
瞧，多把人不当人，这是正常人能看懂的嘛。额……还真是正常人能看懂的，而且必须看懂，这都看不懂，更复杂的函数还不得把你吓死。所以努力学吧。这就是基本的泰勒公式。这公式容易让人晕吧，的确，不过把公式一点点分开慢慢理解，还是可以搞懂的。它就是用函数某个点的导数，来近似这个点附近的函数值。
其实一言以蔽之，其实就是某某函数求值太复杂了，复杂得用我们人类的智商搞不定。于是，我们就用得心应手的简单多项式函数来近似表达。机智客怎么觉得，如此化繁为简之妙招，简直让人拍案叫绝直呼牛叉？数学家的脑子怎么长的呢？正因为泰勒公式如此牛，它在研究函数极限和估计误差等方面不可或缺，成了大家分析和研究许多数学问题的有力工具。
这种集中又完美体现了微积分中增量逼近法的精髓内涵的泰勒公式，在近似计算上有神奇的优势。另外，泰勒公式不仅是泰勒的公式，还是其他人的公式。怎么说，拿前面泰勒公式来说，在泰勒公式中，取a=0的时候，后面的公式则就成了麦克劳林公式。而f(x)在x=0处的泰勒级数则成了麦克劳林级数。再若麦克劳林公式中的余项趋近于0时，相应的泰勒展示式就不叫泰勒展开式了，而应该叫做麦克劳林展开式。瞧这乱的。
