二次函数的应用大题专练
【类型一】销售问题
一、解答题
1．（2022·浙江·嘉兴一中八年级期中）某批发商以每件40元的价格购进600件T恤，第一个月以单价60元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余T恤清仓销售，清仓时单价为30元，设第二个月单价降低x元．
(1)填表（不需要化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价/元
60
______
30
销售量/件
200
______
______
(2)若批发商希望通过销售这批T恤获利7680元，则第二个月的单价应是多少元？
(3)如果批发商希望通过销售这批T恤获利达到了最大值，则第二个月的单价应是多少元？可获利多少元？
【答案】(1)60﹣x；200+20x；600﹣200﹣（200+20x）
(2)该T恤第二个月单价为54或46元，该批T恤总获利为7680元
(3)降价10元，单价为50元，获利8000元
【分析】（1）根据题意直接用含的代数式表示即可；
（2）设该T恤第二个月单价降低x元，该批T恤总获利为W元，由题意易得当40＜60-x，即0＜x＜20时，W＝（60-40）×200+（60-40﹣x）×（200+20x）+（30-40）[600﹣200﹣（200+20x）]＝7680，进而问题可求解；
（3）由（2）可得W＝-2x2+400x+6000=-20（x-10）2 +8000，然后根据配方法可求解．
（1）
解：填表（不需要化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价/元
60
60﹣x
30
销售量/件
200
200+20x
600﹣200﹣（200+20x）
（2）
解：设该T恤第二个月单价降低x元，该批T恤总获利为W元，依题得：
当40＜60-x，即0＜x＜20时，
W＝（60-40）×200+（60-40﹣x）×（200+20x）+（30-40）[600﹣200﹣（200+20x）]＝7680，
即x2﹣20x+84＝0，
解得：x1＝14，x2＝6，
故x＝6符合题意，
综合①、②得：该T恤第二个月单价为54或46元，该批T恤总获利为W＝7680元．
（3）
解：W＝（60-40）×200+（60-40﹣x）×（200+20x）+（30-40）[600﹣200﹣（200+20x）]
W＝-2x2+400x+6000=-20（x-10）2 +8000；
∵-20（x-10）2≤0
∴当降价10元，即单价为50元时，获利最大8000元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2．（2021·浙江温州·九年级期中）“国庆节期间”某商场销售一款商品，每件的成本是元．销售期间发现：销售单价是元时，每天销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件．但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为元时，每天销售利润为元．
(1)求与之间的函数表达式．
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果每天的销售利润不低于元，那么每天的总成本至少需要 元．
【答案】(1)
(2)元，最大利润元
(3)
【分析】（1）根据：利润＝（售价－成本）×销售量，结合题意列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图像的性质进行解答；
（3）把代入函数解析式，求得相应的的值，求出此时的成本即可确定每天的总成本至少需要多少元．
（1）
解：设销售单价为元，则销售量为件，依题意，得：
，
∴与之间的函数表达式为：．
（2）
，
∵，
∴抛物线图像开口向下，
∵，对称轴是直线，
∴当时，．
∴销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
（3）
当时，，
解得：，，
由（2）可知，抛物线图像开口向下，
∵每天的销售利润不低于元，
∴，
当时，总成本为：
（元），
当时，总成本为：
（元），
∴如果每天的销售利润不低于元，那么每天的总成本至少需要元．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式或方程．
3．（2021·浙江宁波·二模）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．
①求W1，W2关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
【答案】(1)140元，20元
(2)①W1＝﹣6x2+40x+7000；W2＝﹣20x+1000
②5，8050
【分析】（1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；
（2）①由（1）知1盆盆景的利润为140元，（140﹣2x）为盆景增加x盆后每盆的利润，第二期有盆景（50+x）盆，两者相乘即为W1，由（1）知1盆花卉的利润为20元，第二期花卉有（50﹣x）盆，两者相乘即为W2；
②由W＝W1+W2得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
（1）
解：设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得：
，
解得：，
答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；
（2）
解：由题意可知，第二期有盆景（50+x）盆．
由题意得：
①W1＝（140﹣2x）（50+x）＝﹣6x2+40x+7000；
W2＝20（50﹣x）＝﹣20x+1000；
②W＝W3+W2
＝﹣2x4+40x+7000+（﹣20x+1000）
＝﹣2x2+20x+8000
＝﹣2（x﹣5）2+8050，
∵a＝﹣4＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝5时，W取得最大值，Wmax＝8050，
∴当x＝5时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一次函数与二次函数的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022·浙江金华·九年级期末）种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．
第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）．
(1)k＝______，b＝______；
(2)请写出p关于x的函数关系式： ______；
(3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)，25
(2)p=4x+16
(3)第18天利润最大，最大利润为968元
【分析】（1）根据题意，得12k-76k=32，计算即可，根据b是常数，b就是第26天的售价．
（2）根据以后每天比前一天多4kg，第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，这就是所求．
（3）分两个时间段，分别求出最值，比较两个最值的大小，下结论即可．
（1）根据题意，得12k-76k=32，解得k= ；∵ b是常数，b就是第26天的售价，∴b=25，故答案为：，25．
（2）∵ 以后每天比前一天多4kg，∴第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，∴p=4x+16，故答案为：p=4x+16．
（3）当1≤x＜20时，W= (4x+16)( )-(4x+16)×18=，故当x=18时，W有最大值，且最大值为968，即第18天的利润最大，最大利润为968元；当20≤x≤30时，W= (4x+16)×25- (4x+16)×18=28x+112，根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，故当x=30时，W有最大值，且最大值为840+112=952，即第30天的利润最大，最大利润为952元；∵968＞952，∴第18天的利润最大，最大利润为968元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和抛物线的性质是解题的关键．
5．（2022·浙江金华·九年级期末）小林大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各100盆，据售后统计，盆景平均每盆利润是320元，花卉平均每盆利润是35元，经市场调研，得出如下结论：①盆景每增加1盆，平均每盆利润减少2元．②花卉平均每盆的利润始终不变．小林计划第二期培植盆景与花卉共200盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为，（单位：元）．
(1)用含x的代数式分别表示，．
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售出后获得的总利润W最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)当时，第二期培植的盆景与花卉售出后获得的总利润W最大，最大利润是元
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（100＋x）盆，第二期花卉有（100－x）盆，根据“盆景的总利润＝盆景每盆的利润×盆景的盆数，花卉的总利润＝花卉每盆的利润×花卉的盆数”即可求解；
（2）根据“总利润＝盆景的总利润＋花卉的总利润”列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（100＋x）盆，第二期花卉有（100－x）盆
（2）解：∵，对称轴∴当时，随着的增大而增大∵为整数∴当时，最大，最大值为：（元）答：当时，第二期培植的盆景与花卉售出后获得的总利润W最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系式列出函数表达式，根据二次函数的性质解答．
6．（2022·浙江湖州·九年级期末）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．
(1)试写出y与x符合的函数表达式．
(2)若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】(1)y＝﹣500x+12000（，且x为正整数）
(2)x＝11时，w有最大值为45500元
【分析】（1）根据图象可知y与x之间的函数关系为一次函数，设，再将这两个点的坐标代入解析式，利用待定系数法求出k与b的值即可；
（2）根据销售量不少于6500千克，即，就能求出售价的取值范围，再利用收入与销售量和售价之间的等量关系，列出收入的函数解析式，最后利用二次函数的性质求出售价与最大收入即可．
(1)
解：由图象可知，y与x的函数关系是一次函数，
设y=kx+b，将代入y=kx+b,
∴．
解得．
∴y＝﹣500x+12000（，且x为正整数）．
(2)
解：设销售该农产品一周青川农户可获得利润w，
∵农产品的销售量不少于6500千克，
∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，
∴7≤x≤11．
而w＝y（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000，
∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x＝14，
∴7≤x≤11在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴x＝11时，w有最大值为45500元．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用题，能利用待定系数法求一次函数解析式，并且根据抛物线的开口方向与对称轴求出最大利润是解题的关键．
7．（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【答案】(1)
(2)30元，1000元
(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元
【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入求解即可确定函数解析式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出结果；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结果．
（1）
解：设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）
设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）
设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
【点睛】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）
解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）
解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）
解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
9．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，正方形EFGH的四个顶点分别在边长为1的正方形ABCD的四条边上．
(1)设，试求正方形EFGH的面积y关于x的函数式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当时，求正方形EFGH的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出∠DHG＝∠AEH，可证△HAE≌△GDH，则DH＝AE＝x，AH＝1－x，在Rt△HAE中，利用勾股定理求出即可得到正方形EFGH的面积y关于x的函数式，然后求出自变量x的取值范围即可；
（2）把代入（1）中解析式计算即可．
（1）
解：∵四边形ABCD与EFGH均为正方形，
∴HG＝EH，∠D＝∠A＝90°，∠GHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°＝∠AHE＋∠AEH，
∴∠DHG＝∠AEH，
∴△HAE≌△GDH（AAS），
∴DH＝AE＝x，
∴AH＝1－x，
在Rt△HAE中，由勾股定理得，
∴；
又∵，且，
∴，
∴；
（2）
当时，，
∴当时，正方形EFGH的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用等知识，证明△HAE≌△GDH，根据勾股定理得出二次函数关系式是解题的关键．
10．（2022·浙江宁波·八年级期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)（36-3x）
(2)8
(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
（1）
∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）
根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）
设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
11．（2022·浙江温州·八年级期中）浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降. 某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
(1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)该景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成.篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当______米时，游乐场的面积达到最大，最大为______平方米．
【答案】(1)平均每年降低了20%
(2)①AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；②12，360
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为x，根据增长率公式列方程解答；
（2）①设，则，根据游乐场的面积为320平方米列方程，求解即可；
②设游乐场的面积为y平方米，列得函数关系式，根据二次函数的性质得到答案．
(1)
解：设平均每年降低的百分率为x，
由题意得：，
解得：（舍去），，
答：平均每年降低了20%；
(2)
①设，则，
由题意得：，
解得：，，
，
，
，
（米），
答：∴AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；
②设游乐场的面积为y平方米，得
，
∴当x=12时，面积y有最大值360，
故答案为12，360．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列得方程或函数关系式是解题的关键．
12．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
(1)求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
(3)求出所能围成的花圃的最大面积．
【答案】(1)
(2)7m
(3)m2
【分析】（1）设AB长为x（m），则BC长为 （30-3x）（m），根据墙的最大可用长度为10m，且BC的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；
（2）面积为63m2，即y=63，代入表达式可得x的值，根据x的取值范围，可得结果；
（3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可．
【详解】解：（1）设AB长为x（m），则BC长为（m），
∴且．即．
∴．
（2）由题意得：，解得：或7．
∵，∴不合题意，就舍去．
∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m．
（3）由题意知：，
∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值．最大值为．
∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键．
13．（2022·浙江宁波·二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设菱形的面积为.
(1)写出关于的函数关系式：
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求，那么当骨架的长为多少时，这风筝即菱形的面积最大？此时最大面积为多少？
【答案】(1)；
(2)；最大面积为
【分析】（1）E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，得出，根据菱形面积公式求出y关于x的函数关系式；
（2）求出x的取值范围，整理，函数图象开口向下，自变量x的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值；
(1)
解：∵E、F为AB、AD中点，
∴，
同理：，
∵EF＋BD＋GH＋AC＝80，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴当即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判断取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值．
14．（2022·浙江绍兴·九年级期末）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长>50m），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
(2)在所给出的坐标系中画出函数的图象；
(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少?
【答案】(1) 其中0<x<50
(2)画函数图象见解析
(3)各道墙的长度分别为20m，10m或者30m，时，总面积达到200m2
【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可；
（2）确定特殊点位置，继而可得函数图象；
（3）构建方程即可解决问题．
(1)
解：∵围墙的总长为50 m，2间饲养室合计长x m，
∴饲养室的宽= m，
∴总占地面积为y=x•=-x2+x（0＜x＜50）；
(2)
解：y=-x2+x=，
顶点坐标为（，），
当y=200时，，
解得x=20或30，
图象经过点（20，200）和（30，200），
当y=0时，，
解得x=0或50，
图象经过点（0，0）和（50，0），
描点，连线，函数图象如图所示．
(3)
解：当两间饲养室占地总面积达到200 m 2时，则-x2+x=200，
解得：x=20或30；
答：各道墙长分别为20 m、10 m或30 m、 m时，总面积达到200 m 2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
15．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
(1)求S关于x的函数表达式．
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出∠B＝∠C＝60°，即可求出．根据题意易证，即得出BE＝CF＝x，从而可求出．最后根据面积公式即可求出S关于x的函数表达式；
（2）将代入（1）求出的函数表达式，解出x，再判断x的值是否符合题意即可．
(1)
解：在正三角形ABC中，线段BE为x，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴．
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴DE＝GF，∠BED＝∠CFG＝90°，
∴．
∴BE＝CF＝x．
∵△ABC的边长为4，
∴．
∴．
(2)
当时，得．
解得．
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解直角三角形，等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）Panda农场有一个四边形农场ABCD，且AD∥BC，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙（BC、AB、DE）砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将农场隔成△CDE和矩形ABED两部分．已知新建墙体总长为30米．设AB＝x米，农场ABCD的面积为S米2
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，农场ABCD的面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）（2）当时，农场ABCD的面积最大，最大值为米2
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=DE=x米，∠ADE=∠DEB=90°，则∠DEC=90°，从而可以得到∠EDC=∠ADC-∠ADE=45°，可证明CE=DE=x米，则，再根据求解即可；
（2）利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=x米，∠ADE=∠DEB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵∠ADC=135°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=45°，
∴∠ECD=180-∠DEC-∠EDC=45°，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE=x米，
∴米，
∵，
∴，
∵墙DM的长为9米，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∵，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，S有最大值，最大值为米2．
∴当时，农场ABCD的面积最大，最大值为米2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意得到S关于x的表达式．
17．（2022·浙江绍兴·模拟预测）嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米．点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米．以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求过点，，三点的抛物线表达式．
(2)“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
【答案】(1)
(2)小明通过桥面需分钟
【分析】（1）由题意知，点坐标为，点坐标为，设抛物线的解析式为：，计算求解值，进而可得解析式的一般式；
（2）把代入，求解符合题意的，计算速度，然后求出全程的时间即可．
(1)
解：由题意知，点坐标为，点是过点，，三点抛物线的顶点，点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入得：
解得：
∴
∴过点，，三点的抛物线表达式为；．
(2)
解：把，代入解析式得：
解得：，
∵点在点的左侧
∴
∴小明通过桥面的速度为：米分
∴小明通过桥面需要时间为：分钟
∴小明通过桥面需分钟．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用．解题的关键在于正确的计算．
18．（2022·浙江温州·九年级专题练习）把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由．
【答案】(1)
(2)货船能顺利通过此桥洞，见解析
【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（12，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式；
（2）把x＝4代入函数解析式即可得到结论．
（1）
由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
过点（12，0），
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得a．
即这条抛物线的解析式为：y（x﹣6）2+4．
（2）
货船能顺利通过此桥洞．理由：
当x（12﹣4）＝4时，
y（4﹣6）2+43，
∴货船能顺利通过此桥洞．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，本题运用二次函数的顶点坐标式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
19．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）现有一个文具袋，如图1所示，文具袋的上部分可以看成一个二次函数图像，下部分是矩形，文具袋的最大高度是13.5cm，底边长是22cm，矩形的宽是8cm．如图2，建立平面直角坐标系．
(1)求出该二次函数的表达式．
(2)某笔记本如图3的长和宽分别是20cm和10cm，试判断笔记本能不能放入文件袋中，请说明理由．
【答案】(1)y=- x2+x+8（0≤x≤22）；
(2)笔记本不能放入文件袋中，理由见解析．
【分析】（1）把抛物线的解析式设成顶点式，再代入（0，8），求得结果；
（2）将x=1代入（1）中的函数式求y的值，再与10 cm进行比较即可求解．
(1)
解：由题意知抛物线的顶点坐标为（11，13.5），则
设抛物线的解析式为：y=a（x-11）2+13.5，
∵抛物线上有一点（0，8），
∴8= a（0-11）2+13.5，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=- （x-11）2+13.5，
即y=- x2+x+8（0≤x≤22）；
(2)
解：不能，理由如下：
∵抛物线的对称轴是直线x=11，笔记本的长度为20(cm)
∴将笔记本长边的中点放在抛物线的对称轴上，这时长边的端点横坐标为1和21，
∴当x=1时，代入y=- （x-11）2+13.5=- （1-11）2+13.59，
∵9<10，
∴笔记本不能放入文件袋中．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
20．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【答案】（1）抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是米．
【分析】（1）先确定D点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式可得出拱顶E到地面BC的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为y轴，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（4，0）或（-4，0），然后计算自变量为-4或4的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
（3）将y=8代入函数求得x，再结合函数的对称性即可求得最小距离．
【详解】解：（1）∵矩形的长为12m，宽为4m，
∴,
代入得，解得，
∴抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OC的交点为，与OB的交点为
将或代入到得，
所以这辆货车能安全通过．
（3）将y=8代入得，解得，
所以两排灯的水平距离最小是米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
21．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）图 1 是世界第一高桥-北盘江大桥， 其桥底呈拋物线， 主桥底部跨度 米， 以 为原点， 所在直线为轴建立平面直角坐标系 （如图2所示）， 桥面， 拋物线最高点 离桥面距离米， 米， 桥面上点作交抛物线于点 若 三点恰好在同一直线上， 则 ____________米．
【答案】
【分析】先设出抛物线表达式（），由题意分析得到点E、点F的坐标，进一步求得点B、点D的坐标，从而得到CD的长度，然后由得到的值，最后求得CD的长度．
【详解】解：据题意，作图如下：
设抛物线的表达式为：（）
∵ 米，米
∴，
∴
∵米
∴,
∴
∴
∴
=
∵ 三点恰好在同一直线上，且
∴
∴
∴
经检验，是原方程的根
∴米
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，以及分式方程的求解检验，相似三角形的性质，牢记相关知识点并能用数形结合的思想解题是关键．
22．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】（1）6m；（2）①；②2m
【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则，代入求值即可．
【详解】解（1）设，由题意得，
，
，
，
当时，，
桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，
设，
，
，
，
，
(左边抛物线表达式：)
②设彩带长度为h，
则，
当时，，
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
23．（2022·浙江绍兴·一模）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直上抛运动中，（表示物体运动上弹开始的速度，g表示重力系数，取）．
(1)写出h（m）关于t（s）的二次函数表达式．
(2)求球从弹起到最高点需要多少时间，最高点的高度是多少？
(3)若球在下落至处时，遇一夹板（这部分运动的函数图象如图所示），球以遇到夹板时的速度再次向上竖直弹起，然后落回地面．求球从最初10m/s弹起到落回地面的时间．
【答案】(1)
(2)球从弹起到最高点需要1秒，最高点的高度为5米
(3)3
【分析】（1）根据题意，代入，即可；
（2）根据二次函数的顶点式和二次函数的性质求最值；
（3）当h=3.75时，求t值，根据题意由对称轴进行判断即可.
(1)
解：当，时，．
(2)
∵，
∵-5＜0
∴当时，h取到最大值，．
答：球从弹起到最高点需要1秒，最高点的高度为5米．
(3)
当时，，解得，．则对称轴为x=1
根据题意可知在球弹起后1.5秒时遇到夹板．
因为球遇到夹板弹起的速度与下落时恰好碰到夹板的速度大小相同，所以小球再次弹起，经过0.5秒后到达最高点，再经过1秒后落地，所以球从最初弹起到落回地面的时间为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，利用二次函数的定义和性质求值即可.
24．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h(m)和经过的水平距离d(m)可用公式h＝－0.01d2 ＋d来估计．
(1)当球的水平距离达到50m时，球上升的高度是多少？
(2)当球的高度第一次达到16m时，球的水平距离是多少？
【答案】(1)25m
(2)20m
【分析】（1）直接代入计算即可求解；
（2）代入可得关于d的方程，解方程即可求解．
(1)
50−0.01×502＝50−0.01×2500＝25（m），所以球上升的高度是25m；
(2)
依题意有d−0.01d2＝16，
解得：d1＝20，d2＝80(舍去)．
故球的水平距离是20m．
【点睛】本题考查了代数式求值，是基础题型，代入法即可求解．
25．（2020·浙江宁波·九年级期中）某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．
(1)求c的值；
(2)计算铅球距离地面的最大高度．
【答案】(1)；
(2)铅球距离地面的最大高度为
【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；
（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．
(1)
把（10，0）代入函数解析式中得：
解得：
(2)
当x＝﹣时，y最大＝
所以铅球距离地面的最大高度为3m．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．
26．（2021·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离7m．当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，假设篮圈距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析式．
（2）问此球能否准确投中？
（3）此时，若勇士球员杜兰特在詹姆斯前面2m处跳起拦截，已知杜兰特这次起跳的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功？为什么？
【答案】（1）；（2）此球能准确投中；（3）不能拦截成功，理由见解析
【分析】（1）根据题意，得抛物线的顶点为：，根据二次函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，当时，计算的值，通过有理数大小比较，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得抛物线的顶点为：
设抛物线为：
∵球出手时离地面高m，
∴
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，
∴此球能准确投中；
（3）当时，
∵，即在詹姆斯前面2m处，蓝球高度高于杜兰特这次起跳的最大摸高3.1m
∴不能拦截成功．
【点睛】本题考查了二次函数、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
27．（2021·浙江绍兴·八年级期末）某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
（1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？
（2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）直接代入计算即可求解；
（2）代入可得关于d的方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）当时，
．
答：当球的水平距离达到时，球上升的高度是．
（2）不能，理由如下：
当时，，
解得（舍去），
∵，
∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，准确运用相关知识是解题的关键．
28．（2021·浙江·九年级期末）已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
29．（2022·浙江湖州·一模）“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点D和点C，下部分是矩形，且点E到台面的距离为，
如图2所示，若以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B流出，其路线呈抛物线形，此时喷口B距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点E．
（1）请求出点E的坐标，并求出b，c的值．
（2）接洗手液时，当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为多少？
（3）如果该洗手液的路线与的交点为点P，请求出的正切值．
【答案】（1），，；（2）；（3）3
【分析】（1）过点E作，交CD于M，连接ED，根据矩形的性质得到、，利用勾股定理求出MD的长度，即可得出点E的坐标，利用待定系数法将点E和点B的坐标代入，求出b和c的值；
（2）根据题意可得出R的横坐标，代入二次函数解析式即可；
（3）求出点P的横坐标，利用正切的定义即可求解．
【详解】解：（1）过点E作，交CD于M，连接ED，
∵四边形CGHD是矩形，，
∴，，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，O为GH的中点，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
把点和点代入可得：
，解得；
（2）当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R的横坐标为8，
当时，，
∴当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为；
（3）该洗手液的路线与的交点为点P，即为抛物线与x轴正半轴的交点，
当时，（负值已舍去），
过点B作，则，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，将实际问题与函数图象结合起来是解题的关键．
30．（2022·浙江·九年级专题练习）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
31．（2020·浙江·九年级期末）如图1，游乐园要建行一个直径为20的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头．如图2，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱高度（）与水柱距离喷水池中心的水平距离（）之间的关系画出部分图象．
水柱距离喷水池中心的水平距离（）
…
0
2
5
8
10
…
水柱的高度（）
…
4
6.4
7
4
0
…
（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；
（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？
（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用表示，喷水水柱形状与 形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25米，水柱下落时也过点，求该种喷水头安装的位置的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）该种喷水头的最大高度是7.2米；（3）喷水头的安装位置是．
【分析】（1）根据关于y轴对称，画出图象即可；
（2）用待定系数法求得抛物线的解析式并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），利用喷出的水柱最大高度为6.25米得关于b的方程，求得b值，从而可得抛物线的解析式；再令y＝0，可得b＞0时的抛物线与x轴的交点横坐标，根据对称性及下落时过点（0，4），可得答案．
【详解】解：（1）如图是所求作的图形
（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的坐标为．可设抛物线的解析式是，把代入得，，所以该种喷水头的最大高度是7．2米．
（3）∵喷水水柱形状与的形状相同，
∴设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），
∵喷出的水柱最大高度为6.25，
∴，
解得，
∴，令得或，
∵水柱下落时过点（0，4），
∴该种喷水头安装的位置是（﹣8，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
32．（2020·浙江温州·九年级期末）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.
(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解．
【详解】（1）由题意可得：当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x−4）2＋6，
把(10,0)代入得0＝a（10−4）2＋6
解得：a＝−，
故抛物线解析式为：y＝−（x−4）2＋6；
令x=0，解得y=
故这个装饰物的高度为m；
（2）∵当x＞0时，抛物线的对称轴为x=4
由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，
当x＝4.5时，y=
答：直线型喷水头最高喷射高度为米．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键．
33．（2020·浙江杭州·九年级期中）如图，斜坡长10米，按图中的直角坐标系可用表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用表示．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
【答案】（1）y=-x2+x+5，（2，9）；（2）能.
【分析】（1）根据直线和抛物线的交点坐标即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）令x=0，得y=5，所以B（0，5），
令y=0，得x=5，所以A（5，0），
将A（0，5）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c得，
c=5，-25+5b+5=0，解得b=，
所以抛物线的表达式为y=-x2+x+5．
y=-（x-2）2+9，所以顶点坐标为（2，9）．
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+5．
顶点坐标为（2，9）；
（2）∵AB=10，OB=5，
∴∠OAB=30°，
∵AC=2，
∴所以C点纵坐标为1，
∴C点的横坐标为4，
所以当x=4时，y=5，
所以1+3.5=4.5＜5，
所以水柱能越过这棵树．
即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数与二次函数交点，解决本题的关键是综合运用二次函数与一次函数的知识．
34．（2022·浙江·九年级专题练习）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为m，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
35．（2019·浙江·温州市南浦实验中学九年级阶段练习）绣山公园入口处的喷水池造型如下图，水池正中心垂直于水面处安装一个出水管OC，OC高1米，水从水管OC顶端C处向四周喷洒，水流向各个方向沿形状相同的抛物线落下．为庆祝国庆，公园将喷泉设计成水流在离OC为1米处达到距水面最大高度2米的造型．
（1）求喷洒的半径．
（2）若水流喷出的水形状与（1）相同，喷洒的半径为3米，求此时水流达到的最大高度．
【答案】（1）喷洒的半径为()米；（2）水流达到的最大高度为米
【分析】（1）根据已知得出抛物线的顶点坐标，即可利用顶点式得出抛物线的解析式，令y=0，求出x的值即可得出答案；
（2）根据题意设抛物线的解析式为：，利用喷洒的半径为3米，知抛物线经过点（3，0），即可求得抛物线的解析式，求得顶点坐标即可求解．
【详解】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为：（1，2），且图象过（0，1）点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点（0，1）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，得：，
答：喷洒的半径为()米；
（2）由（1）得抛物线的解析式为：，
若水流喷出的水形状与（1）相同，喷水口也为C，
∴设抛物线的解析式为：，
∵喷洒的半径为3米，
∴抛物线经过点（3，0），
将点（3，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：（，），
答：水流达到的最大高度为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
