可测函数的定义是：设E是Lebesgue可测集，如果对于任意常数a，集合{x | x∈E, f(x)>a}都是可测集，则称f是E上的可测函数。这意味着可测函数在可测集上的取值分布是有规律的，但并不保证在每个点上都连续。
连续函数的定义是：设E是拓扑空间上的函数，如果对于定义域内的任意一点，都存在一个邻域使得函数在该邻域内连续，则称函数在E上连续。这表明连续函数在定义域内的每一点都保持了某种连续性。
可测函数与连续函数的关系如下：
Luzin定理：任何Lebesgue可测函数都可以通过去掉一个零测集变为连续函数。这意味着几乎所有的可测函数都可以通过某种方式逼近为连续函数。可测性与连续性的关系：连续函数一定是可测函数，但可测函数不一定连续。例如，Dirichlet函数在有理数点上取值1，无理数点上取值0，它是可测的但不是连续的。
迪利克雷函数可测，意味着这个函数的面积可以通过积分被求出来：
比如在[0,1]区间这个积分值为0：所有有理数的长度x1+所有无理数的长度x0=0。
这是因为[0,1]区间所有有理数的长度等于0，而所有无理数的长度等于1。
而连续函数的面积则直接通过积分求出来，不分有理数和无理数。
