中考几何解析——老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型

寻旭星 2024-03-31 03:43:41

老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型(三角形)



一、基础知识回顾

角平分线的概念:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。

已知OC平分∠AOB,则∠AOC=∠COB=∠AOB

三角形内角和定理:三角形三个内角和等于180°

三角形外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

二、模型的概述:

老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2 (结论)

证明:连接AO

∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠3+∠5 ①

∵∠2是∆ACO的外角 ∴∠2=∠4+∠6 ②

①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6,即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC

文字概述:腋下两角之和等于上下两角之和

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠,当点C落在四边形ABFE内部时,∠C与∠1、∠2之间的关系为: 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=(∠1+∠2)

证明:

1)连接CC’,方法同模型一

2)在∆EFC中,将∠FEC=90°-∠1,∠EFC=90°-∠2代入∠FEC +∠EFC+∠C=180°化简

老鹰抓小鸡模型二:∠A+∠O=∠2-∠1 (结论)

证明:连接AO

∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠BAO+∠AOB ①

∵∠2是∆AOD的外角 ∴∠2=∠3+ BAO +∠AOB+∠BOD ②

②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD 即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠,当点C落在四边形ABFE外部时,∠C与∠1、∠2之间的关系为: 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=(∠2-∠1)

双角平分线模型(三角形)

模型一:已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB,则∠D=90°+∠A

证明:∵BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB

∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB

∵在∆ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A=180°-2∠DBC -2∠DCB ①

∵在∆BDC中,∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC -∠DCB ②

①-2×②得∠A -2∠D=180°-2∠DBC -2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB

即∠D=90°+∠A

模型二:已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB,则∠D=90°- ∠A

证明:∵BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB

∴∠1=∠2 =∠EBC,∠3=∠4 =∠FCB

∵在∆ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A =180°-(180°-∠1-∠2) –(180°-∠3-∠4)

化简得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2 +2∠3-180° ①

∵在∆BDC中,∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2 -∠3 ②

①+2×②得∠A +2∠D=180°

即∠D=90°- ∠A

模型三:已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD,则

证明:∵BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD

∴∠1=∠2 =∠ABC,∠3=∠4 =∠ACD

∵∠ACD是∆ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1 ①

∵∠4是∆EBC的外角 ∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2 ②

①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=∠A

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寻旭星

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