老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型（三角形）



一、基础知识回顾

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

已知OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°

三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

二、模型的概述：

老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2 （结论）

证明:连接AO

∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠3+∠5 ①

∵∠2是∆ACO的外角 ∴∠2=∠4+∠6 ②

①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC

文字概述：腋下两角之和等于上下两角之和

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）

证明：

1）连接CC’，方法同模型一

2）在∆EFC中，将∠FEC=90°-∠1，∠EFC=90°-∠2代入∠FEC +∠EFC+∠C=180°化简

老鹰抓小鸡模型二：∠A+∠O=∠2-∠1 （结论）

证明：连接AO

∵∠1是∆ABO的外角 ∴∠1=∠BAO+∠AOB ①

∵∠2是∆AOD的外角 ∴∠2=∠3+ BAO +∠AOB+∠BOD ②

②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD 即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）

双角平分线模型（三角形）

模型一：已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠D=90°+∠A

证明：∵BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB

∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A=180°-2∠DBC -2∠DCB ①

∵在∆BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC -∠DCB ②

①-2×②得∠A -2∠D=180°-2∠DBC -2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB

即∠D=90°+∠A

模型二：已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB，则∠D=90°- ∠A

证明：∵BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB

∴∠1=∠2 =∠EBC，∠3=∠4 =∠FCB

∵在∆ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB =180°∴∠A =180°-(180°-∠1-∠2) –(180°-∠3-∠4)

化简得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2 +2∠3-180° ①

∵在∆BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2 -∠3 ②

①+2×②得∠A +2∠D=180°

即∠D=90°- ∠A

模型三：已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD，则

证明：∵BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD

∴∠1=∠2 =∠ABC，∠3=∠4 =∠ACD

∵∠ACD是∆ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1 ①

∵∠4是∆EBC的外角 ∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2 ②

①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=∠A