题目呈现：用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。(2000年天津市高考试题)

请大家思考一下，几张图片后给出答案解析。

用六个英文单词描述你对数学的领悟。

参考答案(答案不唯一)

数学包含不限于：

①美妙的定理；

②漂亮的证明；

③伟大的实践.

导数的意义：变量y(对自变量x)的瞬时变化率。

长方体的立体图

现在我们开始解题,脑海里浮现出上面的图形。

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x+0.5)m，，高为

由3.2-2x>0和x>0，得0<x<1.6.

设容器的容积为ym³，则有

y=x(x+0.5)(3.2-2x)。(0<x<1.6.)

得y=-2x³+2.2x²+1.6x

∴ y'=-6x²+4.4x+1.6.

令y'=0，有6x²+4.4x+1.6=0.

解得

x₂不合题意舍去。

从而，在定义域(0，1.6)内只有在x=1处使y'=0.

∴ 当x=1时，

yₘₐₓ=-2+2.2+1.6=1.8.

答：高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m³.

特别收录

相关的一些知识点介绍。

知识概括

数学的各个分支中，和运动联系最紧密的莫过于微积分(Calculus)。

微积分里最重要的观点并非变化本身，而是描述一个变化发生快慢程度的速率，即变化率。

平均变化率

设函数f(x)在点x=x₀处及其附近有定义，当自变量x在x₀处有改变量Δx(Δx可正可负)，则函数y相应地有改变量

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)，这两个改变量的比

叫做函数y=f(x)在x₀到x₀+Δx之间的平均变化率。

导数

如果当Δx→0时，

有极限，就说函数y=f(x)在点x₀可导，并称此极限为函数在x₀处的导数(或变化率)，记作：

即

举个例子。求y=x²在点x=1处的导数。

解：Δy=(1+Δx)²-1²=2Δx+(Δx)²

导数的几何意义

函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处切线的斜率。

举个例子。已知曲线

上一点P(2,4),求过点P的切线方程。

解：切线斜率

过P点的切线方程为y-4=8(x-2)，

即 8x-y-12=0.

求导的四则运算法则

设u(x)，v(x)均可导，则有

①(u±v)'=u'±v'；

②(uv)'=u'v+uv'；

③

常见初等函数的求导公式

常数的导数为0.即y=c，y'=0；

y=xᵃ(a是实数)，y'=axⁿ⁻¹；

y=sinx, y'=cosx;

y=cosx, y'=-sinx.

微分

设函数y=f(x)在点x处可导，则y=f(x)在点x处的导数f'(x)与自变量的改变量Δx的积叫做函数y=f(x)在点x处关于改变量Δx的微分，记作：dy=f'(x)dx.

微分法则

设u，v是x的可导函数，则有

驻点

把f'(x)=0的点称为驻点。可导函数的极值点一定是驻点。

可导函数的极值的求法

(1)求导数f'(x)；

(2求f(x)在定义域内的驻点；

(3)检查f'(x)在驻点左右的符号。如果左正右负，那么f(x)在这点处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这点处取极小值；如果左右同号，那么在这点处函数值不是极值。

求可导函数f(x)在[a,b]上的最值

(1)求f(x)在(a，b)内的驻点；

(2)计算f(x)在驻点与端点的函数值，并加以比较，最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。