美国数学教育家波利亚有一句名言："你能一眼看到底吗？"一道难题解决以后，不应偃旗息鼓不想再前进了。通过认真的分析总结，去芜存菁，咀嚼消化，往往会对原来的题目有更深一层的理解，有时甚至还会找到更好的解法。

古生物学家在找到一些头盖骨或其他化石时，常常能够据此恢复原有的动物形象，例如恐龙等。

一个好的数学题目，往往蕴藏着拟题者的一片苦心；高明的解题者能够猜到拟题人的思路，揭示其真实意图。在这里，题目起了一块化石的作用。

下面举一个实例。原问题的提法如下：

如果

通过繁复的计算是可以证明出结果来的，但对问题的实质了解却是无所裨益。

现在请注意， ac - b²=0是 a 、 b 、 c 三数成等比数列的条件，而 a -2b+ c =0是 a 、 b 、 c 三数成等差数列的条件。此外，还可以注意到分子上有 ad ，分母上对应着 a + d ；分子上有-bc ，分母上对应着-( b + c )；对其他两个式子，这个性质也保持着，例如分子上有-b²，则分母上就有-2b等等。

对这类问题，习惯上的解法是引入一个 k ，即可设

于是

然后再求证

一位人工智能研究家找出了好几种解法，但没有一种方法能使他感到满意。后来他注意到第一式

可以化成

ac - k ( a + c )= b²-2bk

式子的右边启发他要配方，这么一来他就得到

( a - k )( c - k )=( b - k )²

这就意味着，原来第一式所表示的真实用意是：

( a - k )、( b - k )、( c - k )成等比数列。

于是不难看出，只要换换字母，第二式告诉我们的是，( b - k )、( c - k )、( d - k ）成等比数列。因而就有

( a - k )、( b - k )、( c - k )、( d - k ）成等比数列。

但是我们知道，任一个等比数列的连续四项中，第一项与第四项的乘积必等于第二项与第三项的乘积，故得

( a - k )( d - k )=( b - k )( c - k )

把这个式子展开，再消去k²，可得

( b + c - a - d ) k = bc - ad

所以

于是解题者猜透了隐藏在出题者心底深处的想法，从四个数 a 、 b 、 c 、 d 中各减去一个常数 k 以后，余下的数要成为等比数列，试问 a 、b、 c 、 d 、 k 应满足什么条件？

我们得到的教益是：哪里有模式，哪里就有意图。

文章来源：本文选自《数学百草园》，1983年，浙江科技出版社。作者是著名数学科普作家谈祥柏。