要回答“什么是数学”这样一个问题，是及其困难的。但我们可以对数学进行分类，从中窥视一二。一旦想把数学分类，就必定要加上种种限制。我们可以把数学粗略地分为代数、几何和分析。

代数与几何的对比

绝大多数人会把代数看成用字母代表数的数学。时常会把代数与算术作一个对照∶算术就是对数作更直接的研究。所以“3×7=？”这样的问题就被认为是算术问题，而“若x＋y=10，且 xy=21，则x与y中较大的一个取何值”就被看作是代数问题。在较高水平的数学里面，这个对比就不那么显眼，原因也很简单，因为数字单独出现而不与字母相伴是极为罕见的。

中学里关于几何的概念是∶它是研究图形的，例如圆、三角形、立方体和球面，还有诸如旋转、反射、对称等等概念。这样，几何的对象以及这些对象所经历的过程，比之代数的方程，可以很好地可视化。

然而，这样的区别绝不是简单的。如果你看到一篇典型的几何研究的论文，它会充满图形吗？几乎绝对不会。事实上，用以解决几何问题的方法，极为常见地涉及极为大量的符号运算，但是，找出与应用这些方法需要有很好的可视化的能力。至于代数，它“仅仅是”符号演算吗？完全不是。非常常见的是，人们解决代数问题是通过寻找一个办法把它可视化。

同时，解决许多几何问题的好方法是“把它转换成代数”。这种做法最著名的例子是使用笛卡儿坐标。这样，尽管我们可以在几何与代数之间找出有用的区别，可是不要以为二者的界限是非常清晰的。事实上，数学的一个主要的分支就叫做代数几何。而上面的例子说明，时常可以把代数变成几何，反过来也一样。不论如何，在代数和几何的思维方式之间有确定的区别，一个比较注意符号，一个比较注意图像。

代数与分析的对比

“分析”一词，若代表数学的一个分支，则在中学水平上并不起大作用。然而，“微积分”这个词大家就熟悉得多，而微分和积分是分析的一个典型例子。理由在于它们都涉及到极限过程。粗略地说，凡是一个数学分支涉及极限过程，它就属于分析，而如果只需通过有限多个步骤就能得到答案，它就属于代数。

既然我们不可能写出无限长的证明，又怎么能够证明任何一件关于极限过程的事呢？为了回答这个问题，让我们来看一看是怎样来论证一个简单的命题，即x^3的导数是3x^2的。通常的论证是，连接两点（x，x^3）和（（x＋h），（x＋h）^3）的弦的梯度是

计算以后得到3x^2＋3xh＋h^2。当h"趋于零时"，这个梯度"趋于3x^2"，所以我们说在x点，梯度就是3x^2。但是，当x为很大时，略去3xh这一项还有根据吗？

为了打消疑虑，我们再稍作一点运算来证明不论 x 取何值，3xh＋h^2这一项总能够变得任意小，只要h充分小就行了。设固定一个小的正数ε，这里的ε表示我们能够容忍的误差的限度，则若

就有

如果我们再有

则又有

所以只要h小于

中的较小者，3x^2＋3xh＋h^2和3x^2之差就至多是ε。上面的论证有两个特点在分析中是典型的。第一，虽然我们想要证明的命题是关于极限过程的，所以是“无穷性”的，我们为证明它所必须做的工作则完全是有限的。第二，这个工作的本质是寻求某个相当简单的不等式成立的充分条件。

如果可以在代数和分析中作一个选择，似乎人们总会选择代数。不论如何，代数证明要短得多。然而，分析学家的证明虽然有好几步，但每一步都很简单，而代数证明的简短反而会产生误导。

虽然分析时常涉及极限过程，而代数则不会，二者之间的一个更加显著的区别在于∶代数学家喜欢与准确的公式打交道，分析学家则喜欢作估计。或者说得更加简洁一点∶代数学家喜欢等式，分析学家喜欢不等式。

既已讨论了代数、几何和分析的思维方式的区别，我们就已准备好对数学作一个粗略的分类。“代数”“几何”和“分析”这些词既表示特定的数学分支，又表示一种贯穿于许多不同分支的思维方式。所以，说分析的某些分支比其他分支更加代数化（或者更加几何化）还是有意义的。类似于此，代数拓扑学几乎完全是代数的，但是性质却是几何的，而其研究的对象——拓扑空间，又是分析的一部分。

代数

代数学家关心的是数系、多项式，以及更抽象的结构，如群、域、向量空间和环。 从历史上看，这些抽象的结构是从具体的例子中推广而得的。例如，在所有整数的集合与具有（例如有理系数）的多项式集合之间有着重要的类同，这两个集合都是一种所谓欧几里得域的代数结构。这个事实就把这个类同展现出来了。如果对于欧几里得域有了较好的理解，就可以把这个理解同时应用于整数和多项式。

这就突出了出现于许多数学分支的一种对立，即一般的、抽象的命题与特殊的、具体的命题的对立。一位代数学家考虑群，可以是为了理解一个特定的复杂的对称群，而另一位则可能是因为群是数学对象的一个基本类别而对其一般理论感兴趣。抽象代数是从具体问题发展起来的。

关于第一种情况，即研究群是为了理解一个特定的复杂的对称群，一个绝佳的例子是五次方程的不可解性，证明了不存在一个把五次多项式的根用它的系数表示出来的公式。我们是通过分析与多项式的根相关的对称性，并理解这个对称性所成的群，来证明这个定理的。这个具体的群的例子在群的抽象理论的发展中起了重要的作用。

至于第二类定理，即把群作为数学对象的一个基本类别来研究，则有限单群的分类是一个好例子，它描述了基本的构造单元，而每一个有限群都是由这些单元构建起来的。代数结构在整个数学中都会出现，代数对于其他领域如数论、几何，甚至数学物理，有许多应用。

数论

数论考虑的是正整数的集合，这样，就和代数有很大的重叠。但是方程13x-7y=1这个简单的例子可以说明一个典型的代数问题和一个典型的数论问题的区别。一个代数学家会简单地只是注意到，它的解是一个单参数族∶若 y = λ，则x=（1＋7λ）/13，所以通解是（x，g）=（（1＋7x）/13，入）。数论学家感兴趣的可能只是它的整数解，所以就要搞清楚，对于哪些整数 λ，1＋7λ是13的倍数。

然而，这样的描述对于现代数论不太公正，因为数论已经成了一个高度精巧的学科。绝大多数数论学家并不直接试图用整数去解方程，而是努力去理解种种结构，这些结构原来是为了研究这种方程而发展起来的，现在自己有了生命，成了有其自身价值的研究对象。这个过程有时会重复若干次，所以“数论”这个词，对于数论学家之所作所为，给出了一个容易产生误导的图景。尽管如此，这个学科的最抽象的部分也常有最实实在在的应用。怀尔斯关于费马大定理的证明就是一个显著的例子。

有趣的是，按照这里的讨论的观点，数论有两个颇不相同的子分支∶代数数论和解析数论。有一个粗略的经验规则∶研究方程的整数解属于代数数论，而解析数论的根源是素数的研究，当然，真实的图景要复杂得多。

几何

几何学研究的中心对象是流形。流形是例如球面这样的几何形体在高维的推广，流形的每一个小部分看起来都是平坦的，但是整体上看起来可以弯曲得非常复杂。和代数的情况一样，有些人对特殊的流形有兴趣，有些人则对比较一般的理论有兴趣。

在研究流形时，可以依据何时可以把两个流形看成是“真正不同”而作进一步的分类。如果两个对象可以连续地互相变形，或者说，可以用某种“态映射”把一个变为另一个，拓扑学家就认为它们是同样的，例如苹果和梨对于拓扑学家就是相同的。这意味着，对于拓扑学家，相对距离是不重要的，因为可以用连续的拉伸来改变它。一个微分拓扑学家还要求变形是“光滑的”（这意味着它是“充分可微的”）。这就造成了流形的更精细的分类。在研究范围的另一个极端，即“更加几何”的一端，则有这样的数学家，他们对流形上的点之间的距离（这个概念对于拓扑学家没有意义）的精确的本性兴趣大得多，他们更加关心可以附加于流形上的辅助的构造。在黎曼度规和里奇流里，可以找到对于几何学的更加几何化的东西的一点痕迹。

代数几何

代数几何学家也研究流形，但与上面所说有重要的区别，就是他们的流形是由多项式来定义的（这方面一个简单的例子是球面）。这意味着，代数几何从"完全是关于多项式的”这一点而言，它是代数的，但是从多变量多项式的解的集合是一个几何对象这一点而言，它又是几何的。

代数几何的一个重要部分是对于奇异性的研究。一个多项式方程组的解的集合时常相似于一个流形，但有一些例外的奇点。例如方程x^2=g^2＋z^2定义一个（双叶）锥面，而在原点（0，0，0）处有一个奇点。如果观察锥面上一点x的邻域，则只要x 不是（0，0），这个邻域就很像是平坦的平面。然而，若x是（0，0，0），则不论这个邻域多么小，仍然会看见锥的顶点在那儿。这样，（0，0，0）是一个奇点。

这意味着锥面并不是一个真正的流形，而是一个“带有奇点的流形”。

正是代数和几何的交织构成代数几何的魅力的部分来源，对这个学科的进一步的推动则来自它与其他数学分支的联系。它与数论有特殊的联系。更加惊人的是它与数学物理有重要的联系。

分析

分析从一出现就带着多种不同的格调。偏微分方程是它的一个重大的主题。这是因为发现了偏微分方程控制着许多物理过程，例如引力场中的运动。 但是偏微分方程也在纯粹数学里出现 ，特别是在几何学里面，所以它催生了一个很大的数学分支，而有许多子分支与许多其他领域相联系。

和代数一样，分析也有其抽象的一面，例如巴拿赫空间和希尔伯特空间、C*-代数和冯·诺依曼代数都是研究的中心对象。这四个构造都是无限维向量空间，后两个还是"代数"，这意味着其中的元素不但可以相加，可以与标量相乘，还可以彼此相乘。因为这些构造都是无限维的，研究它们就要用到极限的论证，这就是何以把它们都归入分析。然而，C*-代数和冯·诺依曼代数这些名词就表明在那些领域中也要本质地应用代数工具。而“空间”一词就表示几何也会起重要的作用。

动力学是分析的另一个引人注目的分支。它研究的是∶当进行一个简单的过程，让它反复地一再进行下去，那会发生什么？例如，取一个复数 z_0，再令

然后是

并以此类推，那么，序列 z_0，z_1，z_2，… 的极限性状如何？它会一直走向无穷，还是会停留在某个有界区域内？结果是，这个序列以一种复杂的方式依赖于原来的数 z_0。它究竟如何依赖于 z_0，这就是动力学的一个问题。

有时，这个反复进行的过程是一个“无穷小过程”。举例来说，已经给出了太阳系的各个行星在某一瞬间的位置和速度，知道它们的质量（还有太阳的质量），这时有一个简单的规则告诉你在以后的瞬间这些位置和速度将变成什么样。后来，既然位置和速度变了，计算也就将改变；但基本的规律仍然是一样的，所以可以把整个过程看成是同一个简单的无穷小过程重复了无穷多次。表述这件事的正确途径是利用常微分方程，所以动力学的相当大一部分就是关于这些方程的渐近性态的研究。

逻辑

“逻辑”这个词有时就是用作一种简写，即所有关于数学本身的基本问题都算是逻辑，其中值得关注的有集合理论、范畴理论、模型理论，还有比较狭义的“演绎的规则”中的逻辑。集合理论的成就中值得关注的有哥德尔的不完全性定理，以及科恩关于连续统假设的独立性的证明，哥德尔定理对于数学的哲学理解有着戏剧性的作用。虽然现在人们已经了解，并非每一个数学命题都可以证明或反证，绝大多数数学家还是和以往一样地行事，因为他们所遇到的绝大多数命题倾向于是可判定的，即可以证明的。然而，集合论专家却是另一类生物。从哥德尔和科恩以来，又有许多其他命题被证明是不可判定的，而且提出了许多新的公理来使它们成为可判定的。这样，可判定性的研究现在主要是为了数学的理由，而不是为了哲学的理由。

范畴理论是另一个例子，本来是来自研究数学的过程，后来其自身也成了一个数学学科。它与集合理论的不同在于∶它较少注意数学对象本身，而是研究对这些对象做了什么事，特别是关注把一个对象变为另一个对象的映射。

一组公理的模型就是这样一个数学结构，使得这些公理在适当解释以后为真。 例如一个具体的群就是群的公理的一个模型。集合论专家研究集合论公理的模型，这些对于以上所述的著名定理的证明是必不可少的，但是模型概念可以应用到更广的其他领域，而且在相当远离集合论的地方导致了重要的发现。

组合学

可以试着用不同的方式来定义组合学。每一种方式单独看都不能令人满意，但是合起来却对这门学科是什么给出了一些概念。第一种定义是∶组合学是讲的如何对事物计数。例如，可以用多少种不同方法用1和0来填满一个n×n正方形格网，但要求每一行里最多有两个1，每一列里也最多有两个1？因为这个问题要求对一个什么东西进行计数，所以它在简单的意义下是一个组合学问题。

组合学有时又称为“离散数学”，因为它考虑的是“离散的”结构，而不是“连续的”结构。组合学和理论计算机科学有密切的亲和关系（后者从本质上说，就是处理由1和0组成的序列的结构），组合学有时也和分析对立起来讲，虽然二者之间有一些联系。

对组合学的第三种观点是∶它处理的是具有“极少”限制的结构。这个想法有助于解释以下事实∶尽管数论研究的是所有整数的集合，这个清楚地是离散的集合（当然还有别的），可是数论并不被看成组合学的一个分支。

为了说明二者的上述对立，现在有两个多少相似的问题，它们都是关于正整数的∶

是否存在一个可以用1000种不同方法写成平方和的正整数？

设有正整数序列a_1，a_2，a_3，…，且每一个a_n都位于n^2和（n＋1）^2之间，是否存在一个正整数，而可以用1000种不同的方式写成此序列中两数之和?

第一个问题是算作数论问题，因为它考虑的是一个非常特定的序列（完全平方数序列），而希望用特定的数集合的性质来回答，而答案是肯定的。

第二个问题则是关于一个构造要少得多的对象的。关于 a_n，我们只知道它的大略的大小，但是对其更精确的性质，例如是否素数，是否完全立方数，或是否2的幂，则一无所知。由于这个原因，第二个问题属于组合学。答案如何尚不得而知。如果答案是肯定的，则它在一定意义上表明，第一个问题的数论的答案只是一个幻象，真正起作用的只是完全平方序列的粗略的增长率。

理论计算机科学

广泛地说，理论计算机科学讲的是计算的效率问题，就是为完成一定的计算任务所需的计算资源，如计算机时间、存储量的大小等等。有关于计算的数学模型，使得能够很一般地研究计算效率问题，而无需考虑算法如何具体执行。这样，理论计算机科学是纯粹数学的一个真正的分支，从理论上说，一个人可以是一个出色的理论计算机科学专家，但不会为计算机编程。然而，它也有许多值得注意的应用，特别是在密码学里。

概率论

从生物学和经济学，一直到计算机科学和物理学，都有许多现象，它们太复杂，所以人们不是试图理解其全部细节，而是提出概率性的命题。例如，如果你打算分析一种疾病可能怎样传播，你不会希望考虑到所有相关的信息，但是可以建立一个数学模型来分析它。这种模型可能有想象不到的有趣的而且与实际工作有直接关联的性态。例如，可能有一个"临界概率"p存在，它具有如下的性质∶如果在某类接触后受到感染的概率大于p，就可能发生传染，而如果小于p，疾病就几乎一定会消失。这样一种性态上的剧变称为相变。

数学物理

数学和物理学的关系几个世纪以来发生了深刻的变化。直到18世纪为止，数学与物理学之间并没有明确的区别，许多著名的数学家同时也被看作是物理学家。在19世纪和20世纪初，情况逐渐发生变化。到了 20世纪中叶，这两门学科已经相当地分离开来了。 然后，到了 20世纪末，数学家们开始发现，许多由物理学家发现的思想，对于数学有着重大的意义。

这两门学科仍然有着巨大的文化上的差异∶数学家们对于寻找严格的证明兴趣要大得多；而物理学家们则是把数学作为一种工具，对于一个数学命题是否为真，只要有了令人信服的论据，哪怕这种论据还没有被证明，物理学家也就满足了。结果是，物理学家是在不太严苛的限制下工作的，所以，他们时常远远早于数学家发现诱人的数学现象。

要找到支持这些发现的严格证明，时常极为困难。对于物理学家们没有认真怀疑过的命题，要验证其真理性，远不只是充满书生气的数学习题。事实上，它时常导致进一步的数学发现。