分解因式专题讲解

类型一： 运用提公因式法因式分解

1．多项式m2﹣4m分解因式的结果是（　　）

A．m（m﹣4） B．（m+2）（m﹣2）

C．m（m+2）（m﹣2） D．（m﹣2）2

【分析】利用提公因式法分解即可．

【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4），

故选：A．

2．分解因式：6x2y﹣3xy＝　 　．

【分析】直接提取公因式3xy，进而得出答案．

【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．

故答案为：3xy（2x﹣1）．

3．已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝　 　．

【分析】利用提公因式法分解后，即可解答．

【解答】解：当a+b＝4，ab＝3时，

a2b+ab2＝ab（a+b）

＝3×4

＝12，

故答案为：12．

4．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　 　．

【分析】利用提公因式法分解即可．

【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）

＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）

＝（y﹣z）（2a+3b）．

5．若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 　 　．

【分析】直接利用已知得出x2+y2的值，再利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．

【解答】解：∵x2y+xy2＝30，

∴xy（x+y）＝30，

∵xy＝6，

∴x+y＝5，

∴（x+y）2＝25，

∴x2+2xy+y2＝25，

∴x2+y2＝25﹣2×6＝13，

∴x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，

∴（x﹣y）2＝1，

∴x﹣y的值为1或﹣1．

故答案为：1或﹣1．

6．计算：40372﹣8072×2019＝　 　．

【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．

【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019

＝40372﹣4036×4038

＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）

＝40372﹣（40372﹣1）

＝1

故答案为：1

7．将多项式a2b+2ab2提公因式后，另一个因式是（　　）

A．﹣a+2b B．a﹣2b C．a+2b D．a+b

【分析】提公因式ab进行分解，即可得到另一个因式．

【解答】解：原式＝ab（a+2b），

∴多项式a2b+2ab2提公因式后，另一个因式是a+2b，

故选：C．

8．分解因式：6（x+y）2+2（y﹣x）（x+y）．

【分析】提取公因式2（x+y），然后将括号内整理即可．

【解答】解：原式＝2（x+y）[3（x+y）+（y﹣x）]

＝2（x+y）（2x+4y）

＝4（x+y）（x+2y）．

类型二： 运用公式法因式分解

9．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（　　）

A．﹣a2﹣16 B．

C．a2﹣10a+25 D．a2﹣64

【分析】根据平方差公式和完全平方公式分解逐一判断即可．

【解答】解：A．﹣a2﹣16，不能用公式法进行因式分解，故A符合题意；

B．a2+a+1/4＝（a+1/2）2，故B不符合题意；

C．a2﹣10a+25＝（a﹣5）2，故C不符合题意；

D．a2﹣64＝（a+8）（a﹣8），故D不符合题意；

故选：A．

10．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x

【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．

【解答】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；

B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；

C、x2+xy+1/4y2＝（x+1/2y）2，故C不符合题意；

D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；

故选：A．

11．若x2+kx+25＝（x﹣5）2，那么k的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10

【分析】先计算完全平方式，即可求出k的值．

【解答】解：∵x2+kx+25＝（x﹣5）2，

∴x2+kx+25＝x2﹣10x+25，

∴k＝﹣10，

故选：D．

12．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（　　）

A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．

【解答】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，

则单项式M可以是﹣5b2．

故选：D．

13．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是（　　）

A．x2﹣y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2﹣y2 D．﹣4+x2

【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．

【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），能用平方差公式分解，故此选项不符合题意；

B、﹣x2﹣y2无法因式分解，不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；

C、4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），能用平方差公式分解，故此选项不符合题意；

D、﹣4+x2＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），能用平方差公式分解，故此选项不符合题意．

故选：B．

14．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（　　）

A．（b﹣6a）（b﹣2a） B．（b﹣3a）（b﹣2a）

C．（b﹣5a）（b﹣a） D．（b﹣2a）2

【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．

【解答】解：底面积为（b﹣2a）2，

侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），

∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），

提取公式（b﹣2a），

M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），

＝（b﹣2a）•（b﹣6a），

故选：A．

15．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（　　）

A．2m+6 B．3m+6 C．2m2+9m+6 D．2m2+9m+9

【分析】首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案．

【解答】解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，

∴[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．

故另一边长为：3m+6．

故选：B．

16．计算：7.792﹣2.212＝　 　．

【分析】应用平方差公式进行因式分解计算即可得出答案．

【解答】解：原式＝（7.79+2.21）×（7.79﹣2.21）＝10×5.58＝55.8．

故答案为：55.8．

17．把多项式a2﹣9b2分解因式结果是 　 　．

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．

故答案为：（a+3b）（a﹣3b）．

18．分解因式

＝　 　．

【分析】用完全平方公式分解因式．

【解答】解：

＝

；

故答案为：

．

19．已知x2﹣y2＝16，x+y＝2，则x﹣y＝　 　．

【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x+y＝2代入计算即可求出x﹣y的值．

【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝2，

∴x﹣y＝8，

故答案为：8

20．已知：x2﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值：

（1）x﹣y；

（2）2x2﹣2xy+10y．

【分析】（1）先把x2﹣y2利用平方差公式分解因式，再根据x+y＝3计算；

（2）先将原式提公因式变形为2x（x﹣y）+10y，再代入计算．

【解答】解：（1）∵x2﹣y2＝15，

∴（x﹣y）（x+y）＝15，

∵x+y＝3，

∴x﹣y＝5；

（2）∵x+y＝3，x﹣y＝5，

∴2x2﹣2xy+10y

＝2x（x﹣y）+10y

＝10x+10y

＝10（x+y）

＝30．

21．分解因式：

（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；

（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．

【分析】（1）利用平方差公式分解即可；

（2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2

＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]

＝（5x+5）（x﹣9）

＝5（x+1）（x﹣9）；

（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9

＝[（x2+2）﹣3]2

＝[（x+1）（x﹣1）]2

＝（x+1）2（x﹣1）2．

22．下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．

解：设a2﹣4a＝b

原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）

＝b2+8b+16（第二步）

＝（b+4）2（第三步）

＝（a2﹣4a+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．

A．提取公因式 B．两数和乘以两数差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．

【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；

（3）将（a2﹣2a）看作整体进而分解因式即可．

【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：C；

（2）这个结果没有分解到最后，

原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；

故答案为：不彻底；（a﹣2）4；

（3）设 a2﹣2a＝b，

原式＝（b﹣1）（b+3）+4

＝b2+2b﹣3+4

＝（b+1）2

＝（a2﹣2a+1）2

＝（a﹣1）4．

23．下列分解因式正确的是（　　）

A．a2﹣4＝（a﹣2）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）

C．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1

【分析】根据提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．

【解答】解：A．a2﹣4＝（a﹣2）（a+2），故A不符合题意；

B．﹣4a+a2＝﹣a（4﹣a），故B不符合题意；

C．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，故C符合题意；

D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故D不符合题意；

故选：C．

24．分解因式：5a2+10a+5＝　 　．

【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．

【解答】解：5a2+10a+5

＝5（a2+2a+1）

＝5（a+1）2，

故答案为：5（a+1）2．

25．把多项式ax2﹣4a分解因式的结果是 　 　．

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．

【解答】解：ax2﹣4a

＝a（x2﹣4）

＝a（x+2）（x﹣2）．

故答案为：a（x+2）（x﹣2）．

26．分解因式：m2﹣4m＝　 　．

【分析】提取公因式m，即可求得答案．

【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．

故答案为：m（m﹣4）．

27．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．

再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：

（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；

（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；

（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．

【分析】（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；

（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；

（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）设x﹣y＝m，

原式＝1﹣2m+m2

＝（1﹣m）2

＝[1﹣（x﹣y）]2

＝（1﹣x+y）2；

（2）设a+2＝m，

原式＝25m2﹣10m+1

＝（5m﹣1）2

＝[5（a+2）﹣1]2

＝（5a+9）2；

（3）设y2﹣6y＝m，

原式＝m（m+18）+81

＝m2+18m+81

＝（m+9）2

＝（y2﹣6y+9）2

＝（y﹣3）4．

28．分解因式：

（1）x3﹣9x；

（2）﹣2a3+12a2﹣10a．

【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．

（2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．

【解答】解：（1）x3﹣9x

＝x（x2﹣9）

＝x（x+3）（x﹣3）．

（2）﹣2a3+12a2﹣10a

＝﹣2a（a2﹣6a+5）

＝﹣2a（a﹣1）（a﹣5）．

类型三： 分组法因式分解

29．下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（　　）

A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2

C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1

【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．

【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；

B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；

C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；

D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；

故选：B．

30．因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．

【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．

【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab

＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）

＝1﹣（a﹣2b）2

＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]

＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．

31．阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：am+bm+an+bn

＝（am+bm）+（an+bn）

＝m（a+b）+n（a+b）

＝（a+b）（m+n）．

（1）利用分组分解法分解因式：

①3m﹣3y+am﹣ay；

②a2x+a2y+b2x+b2y．

（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　 　（直接写出结果）．

【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；

②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；

（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）

＝3（m﹣y）+a（m﹣y）

＝（m﹣y）（3+a）；

②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）

＝a2（x+y）+b2（x+y）

＝（x+y）（a2+b2）；

（2）a2+2ab+b2﹣1

＝（a+b）2﹣1

＝（a+b+1）（a+b﹣1）．

故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．

32．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，

解：设x2﹣2x＝y

原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）

＝y2+2y+1（第二步）

＝（y+1）2（第三步）

＝（x2﹣2x+1）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了　 　．

A．提取公因式 B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或者“不彻底”）

若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果　 　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．

【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；

（2）根据完全平方公式得出即可；

（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．

【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，

故选：C；

（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，

故答案为：不彻底，（x﹣1）4；

（3）设x2﹣4x＝y，

原式＝y（y+8）+16

＝y2+8y+16

＝（y+4）2

＝（x2﹣4x+4）2

＝（x﹣2）4，

即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．

33．分解因式：

（1）ab2﹣a；

（2）（a2+1）2﹣4a2．

（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；

（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．

【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；

（3）先用平方差公式，再用完全平方公式分解因式；

（4）先分组，然后用平方差公式分解因式，再提取公因式分解因式．

【解答】解：（1）ab2﹣a

＝a（b2﹣1）

＝a（b+1）（b﹣1）；

（2）4xy2﹣4x2y﹣y3

＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）

＝﹣y（2x﹣y）2；

（3）（a2+1）2﹣4a2

＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）

＝（a+1）2（a﹣1）2；

（4） x2﹣y2﹣ax﹣ay

＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y）

＝（x+y）（x﹣y﹣a）．

34．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．

再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：

（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　；

（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝　 　；

（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝　 　．

【分析】（1）设x﹣y＝a，原式变形为1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；

（2）设a﹣1＝m，原式变形为25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；

（3）设y2﹣4y＝a，原式变形为a（a+8）+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把y2﹣4y＝a代入原式．

【解答】解：（1）设x﹣y＝a，

原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；

将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；

（2）设a﹣1＝m，

原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；

a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；

（3）设y2﹣4y＝a，

原式＝a（a+8）+16

＝a2+8a+16

＝（a+4）2，

将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．

故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．

35．因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．

【分析】首先分成两组，先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．

【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1

＝（x+2y）2﹣1

＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．

类型四： 十字相乘法因式分解

36．分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（　　）

A．（x﹣5）（x﹣14） B．（x﹣2）（x﹣7）

C．（x﹣2）（x+7） D．（x+2）（x﹣7）

【分析】根据﹣14＝﹣7×2，﹣5＝﹣7+2，进行分解即可．

【解答】解：x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2），

故选：D．

37．把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（　　）

A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7

【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），

∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，

∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，

∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，

∴n＝7，m＝﹣14，

故选：A．

38．因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）

A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）

【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．

【解答】解：（x﹣6）（x+2）

＝x2﹣6x+2x﹣12

＝x2﹣4x﹣12，

（x+8）（x﹣4）

＝x2﹣4x+8x﹣32

＝x2+4x﹣32，

∵因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），

∴n＝﹣12，m＝4，

∴x2+mx+n

＝x2+4x﹣12

＝（x+6）（x﹣2），

故选：C．

39．把关于x的多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则ab＝　 　．

【分析】先进行多项式乘多项式计算，然后求出a，b的值即可解答．

【解答】解：由题意得：

x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），

∴x2+ax+b＝x2﹣2x﹣3，

∴a＝﹣2，b＝﹣3，

∴ab＝﹣2×（﹣3）＝6，

故答案为：6．

40．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：

（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10＝　 　；

（2）x2﹣2x﹣3＝　 　；

（3）y2﹣7y+12＝　 　；

（4）x2+7x﹣18＝　 　．

【分析】（1）把10分解成2×5；

（2）把﹣3分解成﹣3×1；

（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；

（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；

【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；

（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；

（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；

（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．

故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．

类型五： 因式分解的应用

41．已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【分析】利用因式分解，把所求代数式进行分解，并把已知代数式的值代入求解，问题即可解决．

【解答】解：∵x2+x+1＝0，

∴x2021+x2020+x2019+…+x+1

＝x2019（x2+x+1）+⋯+（x2+x+1）

＝x2019×0+⋯+0

＝0．

故选：A．

42．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）

A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65

【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数．

【解答】解：224﹣1

＝（212﹣1）（212+1）

＝（26﹣1）（26+1）（212+1）

＝63×65×（212+1），

则这两个数为63与65．

故选：D．

43．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学

【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．

【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）

＝3（x2﹣1）（a﹣b）

＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），

∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，

∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，

故选：C．

44．若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝　 　．

【分析】根据已知等式得到（a+1）（a2+a+1）＝0，再整体代入所求式子，求值即可．

【解答】解：∵a3+2a2+2a+1＝0，

∴（a+1）（a2+a+1）＝0，

∴a+1＝0或a2+a+1＝0，

当a+1＝0时，a2021+a2022+a2023＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1；

当a2+a+1＝0时，

a2021+a2022+a2023＝a2021（1+a+a2）＝0．

故答案为：﹣1或0．

45．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，因为5＝22+12，所以5是一个“完美数”．

（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”　 　；

（2）已知M是一个“完美数”，且M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　 　．

【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将M配成完美数，可求k的值

【解答】解：（1）∵13＝22+32

∴13是完美数

故答案为：13；

（2）∵M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k＝（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36

∴k＝36时，M是完美数，

故答案为：36．

46．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．

①分组分解法：

例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．

②拆项法：

例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．

（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：

①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；

②（拆项法）x2﹣6x+8；

（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．

【分析】通过给出的实例，理解分组分解法、拆项法因式分解的方法，，即可解决问题．

【解答】（本题满分10分）

解：（1）①4x2+4x﹣y2+1

＝（4x2+4x+1）﹣y2

＝（2x+1）2﹣y2

＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；

②x2﹣6x+8

＝x2﹣6x+9﹣1

＝（x﹣3）2﹣1

＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）

＝（x﹣4）（x﹣2）；

（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，

∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，

∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，

∴a＝2，b＝2，c＝3，

∴a+b+c＝2+2+3＝7．

故△ABC的周长为：7．

47．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．

请你结合以上知识，解答下列问题：

（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　 　．

（2）根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求代数式a2+b2+c2的值．

（3）小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．

【分析】（1）根据正方形的面积＝各举行的面积之和求解即可．

（2）根据图（3）对应的结论进行求解．

（3）拼成的长方形面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+28ab+15b2，对比小正方形和小长方形面积即可求出x，y，z的值．

【解答】（1）拼成的大矩形面积之和＝（a+b）（a+2b），

各个小图形面积之和＝a2+3ab+2b2，

∴图2所表示的数学等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．

故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．

（2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2，

各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38．

∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝102，

即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝100，

∴a2+b2+c2＝100﹣2×38＝24．

（3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，

小图形的面积分别为a2，b2，ab，

∴x＝12，y＝15，z＝28．

∴x+y+z＝12+15+28＝55．