引言

面、边和顶点的数量不是独立的，而是以一种简单的方式联系在一起的。它使用最早的拓扑不变量的例子来区分具有不同拓扑结构的固体。纯数学中最重要和最强大的领域之一——拓扑学，是研究几何物体在连续变形后不变的性质。它帮助我们理解酶如何作用于细胞中的DNA，以及为什么天体的运动可以是混乱的。

欧拉立方体

当19世纪接近尾声时，数学家们开始发展一种新的几何，在这种几何中，长度和角度等熟悉的概念不再是关键，三角形、正方形和圆也没有区别。最初它被称为位置分析，但数学家们很快找到了另一个名字：拓扑。

笛卡尔在1639年思考欧几里得的五个正多面体时注意到了拓扑。笛卡尔因此把注意力转向了正立方体，也就是在这个时候，他注意到了关于正立方体的数字规律。一个立方体有6个面，12条边和8个顶点：

一个十二面体有12个面，30条边和20个顶点：

一个二十面体有20个面，30条边和12个顶点;20 - 30 + 12的和等于2。同样的关系适用于四面体和八面体。事实上，它适用于任何形状的固体，规则的或不规则的。如果立体有F个面，E条边，V个顶点，那么：

笛卡尔认为这个公式只是一个小小的发现，并没有发表。直到很久以后，数学家们才把这个简单的方程式看作是迈向拓扑学的第一步。在19世纪，纯数学的三大支柱是代数、分析和几何。到了20世纪末，变成了代数、分析和拓扑学。拓扑学通常被描述为“橡皮泥几何”，线条可以弯曲、收缩或拉伸，而圆形可以被挤压，从而变成三角形或正方形，重要的是要保持连续性。连续性是自然世界的一个基本方面，也是数学的一个基本特征。今天，我们主要是间接地使用拓扑。量子场论和标志性分子DNA的一些性质需要通过拓扑来理解。

欧拉在1750年和1751年证明并发表了这一关系。F - E + V的表达式看起来相当随意，但它有一个非常有趣的结构。面(F)是二维多边形；边(E)是线，是一维；顶点(V)是点，是0维。表达式+F-E+V中“+”表示偶数维，“-”表示奇数维。这意味着可以通过合并面或删除边和顶点来简化实体，这些变化不会改变F - E + V的结果。

现在，我来解释一下。如图所示：

简化固体的关键步骤。从左到右：(1)开始；(2)合并相邻面；(3)所有面合并后保留的“树”；(4)从树中删除一条边和一个顶点；(5)结束。

首先，把固体变成一个圆球，它的边就是球上的曲线。如果两个面共边，然后你可以删除这条边并将这两个面合并成一个。因为这个合并使F和E都减少了1，它不会改变F - E + V的结果。一直这样做，直到得到一个面，它几乎覆盖了整个球面（除了这个面，只剩下边和顶点）。它们必须形成一个没有闭合环的网络，因为球面上的任何闭合环都至少分开两个面：一个在闭合环内部，另一个在闭合环外部。

这个过程会一直持续下去，直到只剩下一个顶点在一个没有任何特征的球体上。现在V =1，E = 0，F =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2。但由于每一步F - E + V不变，它一开始的值也一定是2，这就是我们想要证明的。

这个证明有两个成分。一个是简化过程：删除一个面和一个相邻的边，或者删除一个顶点和一个与之相交的边。另一个是不变式，即无论何时执行简化过程中的某一步，它都保持不变的数学表达式。只要这两种成分同时存在，就可以通过尽可能地简化任何初始对象的不变式的值，然后计算这个简化版本的不变式的值。因为它是一个不变量，所以这两个值必须相等。因为最终结果很简单，所以不变量很容易计算。

事实上，笛卡尔的公式并不适用于任何固体。最常见的不适用的固体是相框。想象一个由木头制成的四边相框，每条边的横截面都是矩形，在四个角上用45°的斜面连接起来，如下图所示。每条边的木头贡献4个面，所以F = 16。每条木头也贡献了4条边，但是斜接在每个角上创造了4条边，所以E = 32。每个角包含4个顶点，所以V = 16。因此F - E + V =0。

问题出在哪里？

左：F-E + V =0的相框。右图：对相框进行平滑化简后的最终结构 。

F - E + V不变性是没有问题的。简化过程也没有问题。但如果你对框架进行处理，总是在一条边上消去一个面，或者在一条边上消去一个顶点，那么最终的简化构型就不是单个顶点在单个面上了。如上图的右图：F =1, V =1, E =2。在这个阶段，移除一条边只是将剩下的唯一一个面与它本身合并，所以对数字的更改不再抵消。这就是我们停下来的原因，但我们还是得到了答案：对于这个构型，F - E + V = 0。因此，该方法执行得很完美。它只是对相框产生了不同的结果。相框和立方体之间一定有一些基本的区别，不变量F - E + V将其体现了出来。

前面，我告诉过你把固体“变形成一个圆球”。但这对相框来说是不可能的。即使经过简化，它的形状也不像一个球体。它是一个环面，看起来像一个轮胎，中间有个洞。然而，F-E + V仍然是不变的。这个证明告诉我们，任何可变形为环面的固体都满足稍微不同的方程：F - E +V = 0。因此，我们有了严格证明环面不能变形为球体的基础，也就是说，这两个表面在拓扑结构上是不同的。

当然这在直觉上是显而易见的，但现在我们可以用逻辑来支持直觉。正如欧几里得从点和线的明显性质出发，并将它们形式化为严格的几何理论一样，19世纪和20世纪的数学家发展出了严格形式的拓扑理论。

左：2孔环面。右：3孔环面。

像环面这样的实体，有两个或更多的孔，如图上图所示。结果表明，任何可变形为2孔环面的固体满足F - E + V = - 2，任何可变形为3孔环面的固体满足F - E + V = - 4，一般而言，任何可变形为g孔环面的固体满足F - E + V = 2- 2g。

沿着笛卡尔和欧拉的思路，我们发现了固体的数量性质（面、顶点和边的数量）和具有孔的性质之间的联系。我们称F - E + V为立方体的欧拉示性数。

我们计算孔的数量，这是一种定量操作，但“孔”本身是定性的，因为它根本不是固体的特征。直觉上，它是空间中的一个区域而固体不是。事实上，你越开始思考孔（洞）是什么，你就越会意识到定义一个洞是相当棘手的，比如下图：

这是我最喜欢的一个例子，它被称为“孔中之孔”，显然你可以把一个洞穿过另一个洞。

情况变得越来越复杂。到了19世纪末，它们在数学中随处可见——在复分析、代数几何和黎曼微分几何中。更糟糕的是，在纯数学和应用数学的所有领域中，高维的固体类似物占据了中心地位。太阳系的动力学需要每一个物体有6个维度。它们有更高维度的孔类似物。无论如何，有必要给这个新的领域带来一点秩序。答案是：不变量。

拓扑不变量的思想可以追溯到高斯关于磁性的研究。他对磁力线和电力线如何相互连接感兴趣，他定义了连接数，即一个磁力线绕另一个磁力线的次数。这是一个拓扑不变量：如果曲线连续变形，它保持不变。高斯的学生约翰·李斯特和高斯的助手奥古斯特·莫比乌斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在1847年的“拓扑研究”中引入了“拓扑”这个词，而莫比乌斯则明确了连续变形的作用。

李斯特想寻求欧拉公式的推广。表达式 F- E + V是一个组合不变式。孔的数量g是一个拓扑不变量：无论固体如何变形，只要变形是连续的，它都不会改变。拓扑不变量捕捉形状的定性概念特征；组合函数提供了一种计算方法。这两者结合起来是非常强大的，因为我们可以用概念不变量来考虑形状，用组合不变量来确定我们要讨论的内容。

事实上，这个公式让我们完全避开了定义“洞”这个棘手的问题。相反，我们将“洞数”定义为一个包，既不定义洞也不计算有多少个洞。具体怎么做？就是把欧拉公式F - E + V = 2-2g改写成这种形式：

现在我们可以通过在立体上“画面”来计算g，计算F，E和V，然后把这些值代入公式。因为表达式是一个不变量，所以不管我们如何分割实体，总是得到相同的答案。但我们所做的一切都不依赖于洞的定义。相反，“洞数”变成了一种直观的解释。

这对拓扑学的一个核心问题有重大的突破：什么时候一个形状可以连续变形成另一个形状？也就是说，就拓扑学家而言，这两个形状是否相同？如果它们是一样的，它们的不变量也一定是一样的；反之，如果不变量不同，形状也会不同。由于球面具有欧拉示性数2，而环面具有欧拉示性数0，因此无法将球面连续变形为环面。

不太明显的是，欧拉示性数表明这个令人费解“孔中之孔”实际上只是一个伪装的三孔环面。大多数表面的复杂性并不是来自于表面的固有拓扑结构，而是来自于我选择将其嵌入空间的方式。

拓扑学中第一个真正重要的定理产生于欧拉示性数公式。它是曲面的一个完整分类，曲面的二维形状，像球面或环面。此外，还强加了一些技术条件：表面应该没有边界，而且范围应该是有限的（术语是“紧凑”）。

为了这个目的，表面被本质地描述了；也就是说，它并不存在于周围的空间中。一种方法是把这个表面看成是许多多边形区域，它们按照特定的规则沿着边缘粘在一起。

把正方形的边粘在一起做成环面

粘合边界的可能性导致了一个相当奇怪的现象：只有一面的表面。最著名的例子是莫比乌斯的带，这是一个矩形带，其两端以180°的旋转粘在一起。莫比乌斯带只有一条边，因为矩形的两条分开的边通过半扭的方式连在一起。

我们可以很容易做出一个莫比乌斯带，因为它可以很自然地嵌入三维空间。这个带只有一面，也就是说，如果你开始画它的一个表面，然后继续画下去，你最终会覆盖整个表面，前面和后面。

这是因为半扭转连接了前面和后面。这不是一个固有的描述，因为它依赖于把带嵌入空间，还有一个等价的，更专业的特性，叫做可定向性，这是固有的。

如果我们把一个矩形的两条边粘在一起，就像一个莫比乌斯带，然后把另外两条边粘在一起，不需要任何扭曲。这个表面被描绘成这样一个交叉，它看起来就像一个瓶子的脖子戳过侧壁，并连接到底部。它是由克莱因发明的，被称为克莱因瓶。

克莱因瓶没有边界且紧凑，因此任何表面分类都必须包括它。它是所有单面曲面家族中最有名的。

在数学的许多领域中，曲面是自然出现的。它们在复分析中很重要，在复分析中，曲面与奇点有关，在这些奇点上函数表现异常——例如，导数不存在。奇异性是复分析中许多问题的关键。由于奇异性与曲面有关，曲面的拓扑结构为复变分析提供了一种重要的技术。

大多数现代拓扑都是高度抽象的，很多拓扑都发生在四维或多维空间中。我们可以在更熟悉的环境中对主题有一种感觉：扭结。在现实世界中，结是用一根绳子打结而成的。拓扑学家们需要一种方法来防止绳结脱离绳结的末端，因此他们将绳结的末端连接在一起，形成一个闭合的环。一个结就是嵌在空间中的一个圆。从本质上讲，结与圆的拓扑结构是相同的，但在这种情况下，重要的是圆在周围空间中的位置。这似乎与拓扑学的精神相违背，但结的本质在于弦环和围绕它的空间之间的关系。通过不仅仅考虑环路，而且考虑它与空间的关系，拓扑学可以解决关于结点的重要问题。其中包括：

我们怎么知道一个结真的打了？

我们如何区分拓扑上不同的结？换句话说，两个纽结能否从一个光滑地形变到另一 个，而不必切开纽结自身，这仍然被认为是一个复杂的数学问题。纽结不变量是帮助解 答这个问题的有力工具，我们接下来会介绍。

我们能对所有可能的结进行分类吗？

苏格兰理论物理学家 Peter Tait 用多年时间研究出最早的纽结分类表。1910 年马克 思·德恩引进了纽结群的概念。1928 年詹姆斯·瓦德·亚历山大引进了纽结多项式这个更容易处理的不变量。这些都是纽结理论发展 之路上重要的进步。

大约在1960年以后，结论进入了拓扑学的低潮，等待着创造性的洞见。1984年，新西兰数学家沃恩·琼斯发明了新的纽结不变量，称为琼斯多项式，也使用纽结图和三种移动类型来定义。然而，这些移动并不保留结的拓扑类型。然而，令人惊讶的是，这个想法仍然是可行的，而且琼斯多项式是一个结不变量。

琼斯的发现为他赢得了菲尔兹奖。它也引发了新的结不变量的爆发。1985年，四组不同的数学家（8个人），同时发现了琼斯多项式的相同推广，并各自向同一份杂志提交了论文。这四种证明都是不同的，编辑说服这八名作者联合起来发表一篇联合文章。它们的不变量通常被称为HOMFLY多项式（基于名字的首字母）。但即使是琼斯多项式和HOMFLY多项式也没有完全回答结理论的三个问题。对所有可能的结进行系统的分类仍然是数学家的白日梦。

拓扑有很多用途，但它们通常是间接的。例如，我们对混沌的理解是建立在动力系统的拓扑特性的基础上的。

更深奥的拓扑学应用出现在基础物理学的前沿。在这里，拓扑的主要“消费者”是量子场理论学家，因为超弦理论，即量子力学和相对论的统一理论，是基于拓扑的。在这里，类似的琼斯多项式在结理论出现在费曼图的背景下，它显示了量子粒子，如电子和光子如何通过时空移动，碰撞，合并和分裂。费曼图有点像结图。

对我来说，拓扑学最吸引人的应用之一是它在生物学上越来越多的应用，帮助我们理解生命分子DNA的工作方式。是因为DNA是双螺旋结构，就像两个相互缠绕的螺旋楼梯。这两条链错综复杂地交织在一起，重要的生物过程，特别是细胞分裂时复制DNA的方式，必须考虑到这种复杂的拓扑结构。

有些酶，称为重组酶，切断两条DNA链，然后以不同的方式重新连接。为了确定这种酶在细胞中的作用，生物学家将这种酶应用到DNA的闭合环上。然后，他们用电子显微镜观察修改后的环的形状。如果酶将不同的链连接在一起，图像就是一个结：

如果酶使这些链分开，图像显示出两个相连的环。纽结理论的方法，如琼斯多项式和另一种被称为“缠结”的理论，使研究结和连接发生成为可能，这提供了关于酶作用的详细信息。

总的来说，你不会在日常生活中遇到拓扑。但在幕后，拓扑学贯穿了整个主流数学，使其他具有更明显实际用途的技术得以发展。这就是为什么数学家们认为拓扑学非常重要，而数学之外的人却几乎没有听说过它。