20世纪数学的典型特征，在很大程度上就是到19世纪末已经变得越来越明显的那些趋势。这些趋势包括强调共同的基础结构，这样的结构凸显了此前一直被认为毫不相干的不同数学领域当中一致性。它们还包括世界不同地区的数学家当中日益密切的相互作用。

对于某些数学流派的风行一时和优势地位，20世纪容易受其影响的程度丝毫不亚于数学史上此前的任何时期。这种影响可以归因于某个数学领域的研究现状，同时也要归因于个别贡献者的力量；但还有一些外部因素，比如 像物理学、统计学、计算机科学这些相关领域的发展，甚或还有经济和社会 压力，这些通常起到了支持应用的作用。

积分与测度

到19世纪末，对严谨性的强调导致很多数学家纷纷提出“病态”函数的实例，这些函数由于某个异乎寻常的属性而违背了某个此前在一般情况下有效的定理。某些著名的分析学家当中有一种这样的焦虑：对这些特例的专注， 将会使年轻的数学家分心旁骛，没有心思去寻求当时重大的未决问题的答案。 庞加莱说：

然而，通过对异常特例的研究以及对长辈的质疑，两个年轻的法国数学家实现了一些概念的定义，而这些概念，对于20世纪数学某些最一般化的理论的发展至关重要。亨利·勒贝格受过通常的数学训练，但他的学位论文却是最不寻常的，几乎是重建了积分领域。 他的作品是如此严重背离了人们普遍接受的观点，以至于最初，像康托尔一 样，勒贝格遭到了痛击，既有来自外部的批评，也有内心的自我怀疑；但他的观点的价值越来越被人们所认可，1910年，他被任命为巴黎大学的教授。 然而，他并没有创立一个“学派”，也没有专注于他所开拓的那个领域。勒贝格担心：

后来的发展似乎表明，他对数学中一般化的有害影响的担心并非毫无道理。

在勒贝格之前一直主宰积分研究的黎曼积分。但到19世纪末，三角级数的研究和康托尔的集合论使得数学家们更敏锐地意识到，函数中的基本观念在更新的意义上应该是逐点对应或 “映射”，而不是变化的平滑性。康托尔甚至跟可测集的概念作斗争， 根据他的定义，两个集合的并集的测度可以小于这两个集合的测度之和。康托尔定义中的缺陷被勒贝格在测度论研究上的直接前辈埃米尔 · 博雷尔给消除了。

泛函分析与一般拓补学

新的积分理论与20世纪另一个明显特征紧密相联：点集拓扑学的迅速发展。如果没有对集合论的总体考量，函数理论将不再有用武之地。而这个集合未必是数的集合，而是任意性质元素的集合，比如曲线或点，在这样的任意集合的基础上，构建了一套 “函数演算”：

这里关注的不是集合E的特例，而是那些跟集合元素的性质毫无关系的集合论结果。在这个非常笼统的演算中, 极限的概念比我们先前定义的极限要宽泛得多，前者包括后者作为特例。

20世纪的数学，最引人注目的方面，大概莫过于程度越来越高的一般化。在某种意义上，一个积分方程可以被视为一个有n个未知数的n个方程所组成的系统扩展为一个有无穷多个未知数的无穷多个方程所组成的系统。

当希尔伯特在1904至1910年间研究积分函数的时候，他并没有明确提到无限维空间，但他发展出了一个有无穷多个变量的函数的连续性的概念。希尔伯特究竟在何种程度上正式构建了后来以他的名字命名的那个 “希尔伯特空间”，这是一个悬而未决的问题，但它们对数学界的影响是巨大的。他在积分方程上的工作很快就被弗里德里希·里斯和恩斯特·费希尔扩展到了更一般的函数和抽象空间。

在希尔伯特关注积分方程的那些年里，阿达马正在从事变分计算的研究，他的门生弗雷歇则在1906年有意识地试图通过他所说的函数演算对这一领域的方法进行一般化。普通微积分处理的是函数，而函数演算关注的是泛函数。 函数是一个数集S1与另一个数集S2之间的对应，而反函数则是一个函数类 C1与另一个函数类C2之间的对应。弗雷歇阐述了一些一般化的定义，大致相当于普通微积分中诸如极限、导数和连续性这样的术语，适合于他所创造的函数空间，在很大程度上为新的形式引入了一套新的词汇表。

有人说，拓扑学是从庞加莱的开始的，另一些人则声称，它始于康托尔的集合论，或者说，多半始于抽象空间的发展。还有人把布劳威尔视为拓扑学的创立者，尤其是因为他在1911年提出的拓扑不变性理论，因为他把康托尔的方法跟拓扑学的方法融合了起来。无论如何，持续至今的拓扑学的集中发展是从布劳威尔开始的。在这个拓扑学的 “黄金时代”，美国数学家做出了引人注目的贡献。有人说，“拓扑学开始的时候是很多的几何学和很少的代数学，现如今，它是很多的代数学和很少的几何学。” 而拓扑学一旦可以被描述为没有度量的几何学，代数拓扑学就开始主宰这一 领域。

黎曼曲面

在哥廷根大学讲授黎曼曲面的赫尔曼·外尔也强调了一个曲面（二维流形）的抽象性。他声称，流形的概念不应该跟点空间（通常的几何学意义上）联系起来，而应该赋予更宽泛的意义。我们只不过从一种被称作 “点”的事物（可以是任何对象）的集合开 始，并通过恰当的定义引入连续性的概念。

豪斯道夫1914年出版的《集合论基础》的第一部分是对集合论典型特征的系统阐述，在他的阐述中，元素的性质无关紧要，只有元素之间的关系才是重要的。在此书的后半部分，我们发现，“豪斯道夫拓扑空间”从一个公理集中清晰地发展了。作者把一个拓扑空间理解为一个由元素x和某些子集S（被称作x 的邻域）所组成的集合。

如果说有哪本书标志着点集拓扑学作为单独一门学科出现的话，那这本书就是豪斯道夫的 《集合论基础》。有趣的是，我们注意到，尽管正是分析学的算术化开始了从康托尔通向豪斯道夫的思想路径，但到最后，数的概念被彻底淹没在更加一般的观点之下。此外，尽管 “点”这个词被用在它的名称中，但这门新学科跟普通几何学中的点没多大关系，正如它跟普通算术中的数也没多大关系一样。拓扑学在20世纪的出现，是作为一门统一几乎整个数学的学科，有点像哲学试图把一切知识协调起来一样。因为它的本原性，拓扑学成为绝大部分数学的基础，为数学提供了意想不到的凝聚性。

代数学

在20世纪初进入了分析学、几何学和拓扑学的那种高度的形式抽象, 不能不入侵代数学的地盘。结果是一种新类型的代数学，有时候被不恰当地描述为 “现代代数学”，它主要是20世纪20年代的产物。诚然，代数学算术化的渐进过程在19世纪就开始发展，但在20世纪，抽象程度急剧向上。在韦德伯恩的一篇文中，他把他的课题从对特定数域的依赖中抽象了出来。韦德伯恩在这篇论文中提出了很有影响的结构定理。这些定理是这样陈述的：

任何代数都可以表示为幂零代数和半单代数之和。

任何不是单代数的半单代数都是单代数的直和。

任何单代数都是本原代数与单矩阵代数的直积。

艾米·诺特在1921年把代数数域的理想数分解定理转变成任意环中理想子环的分解定理。在这项工作的基础上，沃尔夫冈·克鲁尔发表了一系列论述环的代数理论的论文，实现了与施泰尼茨那篇论述域的论文类似的结果。诺特和她的学生们对环论做出了另外 一些重要贡献，这之后，她便转向了从理想论的观点处理有限群的表示。通过诺特的影响力，这些代数学概念跟拓扑学联系了起来，确定了拓扑学的研究方向。

微分几何与张量分析

20世纪初的微分几何提供了一个有趣的实例，可以用来研究外部力量如何影响了人们对一个数学分支不断改变的态度。这一领域的研究者做出了一些次要的贡献，阐述了一些有趣的可选方案，但它明显是一个注定只有专家才感兴趣的领域。

然而，在阿尔伯特·爱因斯坦宣布了他的广义相对论之后，这种情况得到 了戏剧性的改变。1915年，爱因斯坦介绍了他的引力方程的发现，他指出，这标志着“高斯、黎曼、里奇等人所创立的一般微分学方法的一次真正的胜利。”人们对广义相对论的兴趣导致了大量的出版物，旨在阐明或拓展广义相对论和微分几何。

1916 年。研究集合论的德国数学家格哈德 · 赫申伯格提出了连接的概念。列维—齐维塔在1917年提出了平行的概念，并于1920年代初在罗马大学讲授他继续称之为绝对微积分的这门学科，随后出现了多维微几何原理和里奇微积分等专著。在超过一代人的时间里，相对较少的数学家认识到了，研究微分几何的新方法的种子已经播下。

20世纪初，赫尔曼·外尔讲授黎曼的函数理论，把黎曼的作品建立在满足严谨性需要的从集合论上严格证明的基础上。现在，概念和定义，比如复流形的初步定义，成了后来大多数流形研究的基础。此后，外尔还探索了线性连接的概念，有一段时间认为，把这跟相似群联系起来可能导致统一场论。1920年代中期，人们撰写了一批论述李群的线性表示的经典论文，部分程度上是他的这项工作的结果。与此同时，从研究李群开始自己的职业生涯的埃利·嘉当对微分几何进行了改进。

嘉当在他研究工作的早期便发展出了外微分形式的微积分。他把这打造成了一个强有力的工具，既用于微分几何，也用于很多其他数学领域。他的主要成就是建立在两个概念的基础上：

一个是他对连接的定义，这个定义被微分几何学家广泛采用。

另一个是对称黎曼空间的。在这样一个空间里，每个点都被假定为被 “对称”所环绕，亦即某种使该点固定不变的保距变换。

更早，嘉当成功地对实单李代数进行了分类, 并成功地确定了单李代数的不可简化的线性表示。结果证明，单李群的分类可以用于对称黎曼空间的描述。

概率论

第二次世界大战之后的很多数学分支代表了一次全新的出发，预示了一个新时代的来临。集合论和测度论在整个20世纪侵入了不断拓宽的数学领域，很少有哪个数学分支像概率论那样完全不受这一趋势的影响，对这一领域，博雷尔贡献了他的《概率论原理》。新世纪的头一年对于概率论来说是幸运的一年，无论是在物理学中，还是在遗传学中，因为吉布斯在1901年出版了他的 《统计力学的基本原理》，同年，卡尔·皮尔森创办了《生物统计学》杂志。庞加莱众多的头衔当中有一个是“概率演算教授”，显示了他对这一学科的兴趣。

在俄国，切比雪夫的学生马尔可夫开始了关联事件链的研究。在气体分子运动论中,以及在很多社会和生物学现象中，一个事件的概率常常依赖于之前的结果，尤其是自20世纪中叶之后，马尔可夫的关联概率链得到了广泛的研究。作为不断扩张的概率论的数学基础，统计学家们找到了一个近在手边的恰当工具，概率论的任何严谨表述，如果不使用可测函数和现代积分理论的概念，都是不可能的。古典分析学一直关注连续函数，而概率问题通常涉及到分离的实例。 测度论和积分概念的扩展十分适合在分析学与概率论之间建立起更紧密的联系，尤其是在20世纪中叶、当巴黎大学的洛朗·施瓦茨通过分布理论把微分的概念一般化之后。

原子物理学中的迪拉克delta函数显示，长期以来让数学家们头痛不已的病态函数在科学中也很有用。然而，在更困难的实例中，可微性失灵了，结果导致微分方程的解———数学与物理学之间的主要联系环节之一———的问题，尤其是在牵涉到奇解的情况下。为了战胜这个困难，施瓦茨提出了更宽泛地看待可微性，通过巴拿赫、弗雷歇等人在20世纪上半叶对广义向量空间的发展，使这一观点成为可能。一个线性向量空间是一个满足某些条件的元素a、b、c … 的集合，尤其是包括这样一个条件：

如果L的元素是函数，则这个线性向量空间被称作线性空间，这种情况下的映射被称作线性泛函。施瓦茨所说的 “分布”，指的是可微且满足其他条件的函数空间上的线性连续泛函。接下来，施瓦茨发展出了一个分布的导数的恰当定义，使得一个分布的导数本身始终是一个分布。这提供了对微积分的强有力的一般化,以及对概率论和物理学的直接应用。泛函分析———尤其是对变分计算的一般化———和分布理论自20世纪中叶以来一直都是数学研究的重要课题。

同调代数与范畴论

现代代数（或抽象代数）、拓扑学和向量空间的基本概念是在1920至1940年间定下的，但接下来的20年目睹了蔓延到代数学和分析学领域的代数拓扑学方法中名副其实的巨变。结果是一门被称作同调代数的新学科，亨 利·嘉当和塞缪尔·艾伦伯格 撰写的论述这一课题的第一部专著出版于1955年，在接下来的12年里紧随其后的还有几部专著，其中包括桑德斯·麦克莱恩的《同调》。同调代数是抽象代数的发展，涉及的结果对很多不同种类的空间都有效———这是代数拓扑对纯代数地盘的一次入侵，抽象代数与代数拓扑之间这种普遍而有力的交叉，其速度变得越来越快。此外,这一领域的结果的适用性是如此广泛，以至于古老的代数学、分析学和几何学等标签几乎都不适合最近的研究成果。数学此前从未像今天这样彻底地统一起来了。

这一趋势的征兆，就是艾伦伯格和麦克莱恩在1942年提出函子和范畴的概念。

20世纪50年代后，大多数巨大的发展都跟自然科学没多大关系，而是被纯数学本身之内的问题所激发；然而，在同一时期，数学对科学的应用有了极大的增加。对这一异常情况的解释似乎很清楚：对模式的抽象和洞察在自然研究中扮演着越来越重要的角色，正如它们在数学中一 样。因此，即使在超抽象思维的今天，数学也依然是科学的语言，正如它在古代一样。经验现象与数学结构之间存在着一种密切的联系，这一点似乎被当代物理学的最新发现以一种出人意料的方式证实了，尽管这种一致性的根本理由依然很模糊。从公理的观点看，数学因此显得像是一座抽象形式（数学结构）的仓库；碰巧的是———我们不知道为什么———经验现实的某些方面很适合这些形式，仿佛是通过了某种预适应一样。

布尔巴基

布尔巴基这个名字代表一群数学家，几乎完全是法国人，他们组成了一个小集团。 布尔巴基的《分析学基础》包含6个子标题：(1)集合论，(2)代数学，(3)一般拓扑学，(4)实变函数论，(5)拓扑向量空间，(6)积分。这些标题表明，这些书中所包含的数学只有很少一 部分在一个世纪之前存在。布尔巴基对这一学科的展示，其典型特征就是毫不妥协地忠诚于公理方法，忠实于清晰地描绘逻辑结构的完全抽象的一般形式。希望通过对结构的强调实现思想的极大节约。

20世纪初，数学中的浪漫主义者担心贫瘠的形式主义在逻辑主义的鼓励下接管他们的学科。到这个世纪中叶，形式主义者和直觉主义者之间的争执偃旗息鼓了，布尔巴基觉得没有必要在这场论战中偏袒哪一方。

逻辑与计算

历史的讽刺之一是，就在布尔巴基及其他纯数学家追求以观念取代计算这个目标的同时，工程师和应用数学家们发展出了一个工具，它重新点燃了人们对数值计算和代数技术的兴趣，并强烈影响了很多数学系的构成，这就是计算机。在20世纪的上半叶，计算机的历史更多地牵涉到统计学家、物理学家和电子工程师，而不是数学家。台式计算机和穿孔卡控制系统对商业、 银行和社会科学是不可或缺的。计算尺成了工程师的象征；各种类型的积分仪被物理学家、测地学家和统计学家所使用。纸和笔依然是数学家们的主要工具。尽管大多数重要努力是物理学家和工程师推动的，但很多年轻的数学家在自动数字电子计算机的发展中扮演了积极的角色。其中大多数数学家在他们涉足计算机的时候都处在他们职业生涯的早期阶段，很多人在1930年代获得了博士学位。我们妨看看三个对新兴计算机领域做出贡献的数学家。

约翰·冯·诺依曼在21岁那年发表的一篇论文中，给出了序数的新定义；两年后，他为集合论提出了一套公理系统，提供了在策梅洛和弗兰克尔的体系之外的可选方案。1926年，他发表了一篇关于博弈论的开拓性论文。冯·诺依曼是20世纪最有创造力、最多才多艺的数学家之一，他是数理经济学新方法的开拓者。计量经济学长期以来利用数学分析，但正是通过冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩在1944年出版的 《博弈论与经济行为》，所谓的有穷数学开始在社会科学中扮演一个越来越重要的角色。

麻省理工学院的诺伯特·维纳在1948年出版了他的《控制论》一书，这本书确立了一门新的学科，致力于研究动物和机器中的控制与沟通。冯·诺依曼和维纳都深深地卷入了量子论，前者在1955年被任命为原子能委员会的成员。然而，得出下面这个结论将是错的：像这样一些人只不过是应用数学家而已。他们对纯数学至少做出了同 样广泛的贡献———对集合论、群论、运算微积分、概率论以及数理逻辑与基 础。事实上，正是冯·诺依曼，在1929年前后赋予了希尔伯特空间以它现在的名称、它最早的公理化以及它目前的高度抽象的形式。在20世纪初，现代线性空间理论的起源上，尤其是在巴拿赫空间的发展上，维纳都很重要。

艾伦·图灵是1934年毕业于剑桥大学的国王学院。次年，他解决了数理逻辑中一个悬而未决的问题，从而创造了历史。包含这一成果的论文发表于1937年，题为《论可计算数及其在判定问题上的应用》。1936年，图灵去了美国，在普林斯顿从事研究。他在那里与逻辑学家丘奇一起工作，提出了自己对判定问题的证明，并结识了约翰·冯·诺依曼。后来，他深深卷入了密码分析活动，电子计算机的设计，以及编程系统的设计。

最后

在当代数学更值得注意方面，最明显的特征包括：几何学的复兴，以及在很多著名问题的解决上所取得的进步，从庞加莱猜想，到有限群的分类。

到20世纪快要结束的时候，人们的态度既没有表现出18世纪末一些思想家的那种悲观，这些人曾经声称，大多数重要问题已经得到解决；也没有表现出希尔伯特在19世纪末的那种乐观，当年他曾宣布，一切问题都能够得到解决。有时候，看上去最重要的问题好像是，数学问题是不是应该解决。因为在很多领域，数学的教学和研究都面临进退维谷的境地。

未来的伟大数学家，就像过去的一样，将会逃离人们惯走到老路。正是通过意料之外的和解，他将在给它们带来又一次转变的过程中，解决我们留给他的重大问题。在未来，正像在过去一样，伟大的观念必定是令人满意的观念。