抖音作者把下面的公式
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc- ac)
=a³+b³+c³-3abc
称为三个老头公式。
a³和b³及c³就是三个老头,属于爷爷辈,a²和b²及c²就属于父辈,其余的都是儿孙辈。
这个比喻挺形象的,取个名字好称呼,不错。
三个老头公式从左到右是整式的乘法,反过来,从右到左是因式分解。本文就从这两个角度来聊聊三个老头公式。
§3.6乘法公式应用乘法对于加法的分配律和多项式与单项式相乘的法则,我们就可以做多项式乘以多项式的乘法。
多项式乘以多项式的法则
多项式乘以多项式,只要把一个多项式的所有各项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,有同类项要加以合并。
我们现在要来研究,怎样利用一些公式使某些多项式的乘法做起来比较简便,这些公式叫做乘法公式。
两数和与差的积
第一个因式是两个代数式的和,而第二个因式恰巧就是这两个代数式的差。所求得的积,恰巧就是因式里两个代数式的平方的差。
两数的和与这两数的差的积等于这两个数的平方差。
把这个结论用字母来表示,就得到下面的公式:
( a + b )( a - b )=a²- b²(乘法公式1).
这里 a 与 b 可以表示任意的代数式,但公式里所有的 a 都要表示同样的代数式,所有的 b 也都要表示另一个同样的代数式.
二项式的平方公式:
( a + b )²=a²+2ab+ b²(乘法公式2).
( a - b )²=a²-2ab+ b²(乘法公式3)
三项式的平方公式
(a+b+ c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2b
(乘法公式4).
(a+ b)(a²-ab + b²)=a³+ b³(乘法公式5).
(a-b )( a²+ab + b²)=a³-b³(乘法公式6)
二项式的立方公式:
(a+b)³ =a³+3a²b+3ab²+b³(乘法公式7).
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³(乘法公式8).
两个一元一次二项式的积:
(x+ a)(x+b)= x²+(a+b)x + ab
(乘法公式9).
(ax+b)(cx+d)=acx²+(bc+ad)x+ bd
(乘法公式10).
重点来了,本文主角闪亮登场。
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)的积
从实际运算可以得到三个老头乘法公式:
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc- ac)
=a³+b³+c³-3abc
(乘法公式11).
这个式子左边的两个因式,第一个是三个数的和,第二个是包括六项的代数和,其中三项分别是这三个数的平方,另外三项是这三个数中两两相乘的积的相反数,这个式子右边的乘积是一个四项式,其中三项分别是这三个数的立方,第四项是这三个数的乘积的相反数。
例题1 利用乘法公式计算:
(a+2b-3c)(a²+4b²+9c²-2ab+3ac+6bc).
审题:a²,4b²,9c²分别是 a ,2b,-3c的平方,-2ab,+3ac,+6bc分别是这三个数中两两相乘的积的相反数,因此,可用公式
解:
(a+2b-3c)(a²+4b²+9c²-2ab+3ac+6bc)
=a³+(2b)³+(-3c)³-3a(2b)(-3c)
=a³+8b³+27c³+18abc
习题:利用乘法公式计算:
1.(a-b-c)(a²+b²+c²+ab+ac- bc ).
2.(2a+b-5c)(4a²+b²+25c²-2ab+10ac+5bc).
3. (3a+2b+1)(9a²+4b²+1-6ab-3a-2b).
4.(-2a+3b-4c)(4a²+9b²+16c²+6ab-8ac+12bc)
4.因式分解在上一章里,我们学习了整式的各种运算。进一步我们将学习分式的运算。但在这之前,我们要先学习多项式的因式分解,这和算术里学习分数以前,先要学习整数的因数分解一样,这一章里我们就来讨论多项式的因式分解。
§4.1因式分解的意义
在算术里我们知道,一个自然数如果除掉1和它本身以外,不能被其他自然数整除,那末这个数就叫做质数又叫素数;如果还能够被其他自然数整除,那末这个数就叫做合数.自然数1既不是质数,也不是合数.
对于一个合数,我们总可以把它分解成若干个质因数的连乘积。
把一个自然数分解成几个因数的连乘积叫做自然数的因数分解。在进行因数分解的时候,通常总要把它分解到所有的因数都是质数为止,这种因数叫做质因数。
例如,对于合数224,可以用短除法进行因数分解,得到
224=2⁵·7
我们知道,几个整式相乘,每一个整式都叫做它们的积的因式。
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解.
因式分解是整式的一种恒等变形。
在进行多项式的因式分解时,象算术里分解因数一样,通常也要把这多项式分解到不能再分解为止。
在代数里,一个单项式已经是数字因数和字母因数的乘积的形式了,例如3a²b³c 就是3×a×a×b×b×b×c,而3a²b³c的写法比3aabbbc的写法简便,因此单项式不再需要分解因式了。
下面我们来研究多项式的因式分解的各种方法。
a³+b³+c³-3abc的因式分解公式
在乘法公式里,我们学到过一个公式:
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac- bc)
=a³+b³+c³-3abc.
反过来,我们就得到因式分解的公式:
a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac- bc)
(因式分解公式8).
例2 分解因式:8a³+b³+27c³-18abc.
[审题]
这里8a³=(2a)³,27c³=(3c)³,而-18abc刚巧等于-3(2a)( b )(3c),因此可用上述公式来分解
8a³+b³+27c³-18abc
=(2a+b+3c)(4a²+b²+9c²-2ab-6ac-3bc).
例3 分解因式:
a³-8b³+c³+6abc.
[审题]这里-8b³=(-2b)³ ,而+6abc=-3a(-2b)(c),所
以可用上述公式分解.
解 a³-8b³+c³+6abc
=(a-2b+c)(a²+4b²+c²+2ab-ac +2bc)
习题
分解下列因式:
1. 27a³+b³+c³-9abc.
2.a³-b³-c³-3abc.
3.-a³+b³+8c³+6abc.
科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。
(摘编自《数理化自学丛书第二版·代数第一册》)