弦理论是统一量子力学、引力和广义相对论的主要科学成果之一。这个理论带来了惊人的预测，最引人注目的是，我们生活在一个更高维度的世界，而不是一个三维世界（相对论是四维时空）。

根据弦理论的不同，额外维度的数量也不同。然而，这些额外的维度在哪里呢？到目前为止还没有人注意到它们。这就是我们的弦理论吗？显然不是，否则，成千上万的物理学家不会把他们的一生奉献给这个物理学分支！

在本文中，我想让这些想法更具体一些。我们将看看“上帝的主方程”之一，薛定谔方程，并把它应用到“玩具”世界。这让我们看到，卷曲的额外维度有什么影响，以及我们如何观察它们。

薛定谔方程（没有额外维度）

我们的“玩具”世界只有一维，一个缩小版的平面。它向两个方向无限延伸。这个玩具世界的薛定谔方程式是这样的

其中𝑉(𝑥)为系统的势能函数，𝐸为总能量。让我们进一步假设把一个粒子困在一个很小的体积里，比方说在𝑥=0和𝑥=𝐿之间。我们以某种方式把它控制在这个区域，它可以在那里自由移动，但它无法逃脱。这可以用势能函数来描述

所以薛定谔方程化简成

边值条件是

否则薛定谔方程就不能在势能无限的区域中得到满足。在这种情况下，薛定谔方程简化为谐振子的形式，满足边界条件的解为

其中𝑛是一个𝑛≥1的整数，𝑎是某个常数。把它插入薛定谔方程中就得到了

或者

所以粒子有一个离散的，尽管有无限个允许的能级。𝑛越高，能量越高。没什么特别的。

额外的卷曲维度

额外的卷曲维度？如果你用实数线表示一个标准维度，那么这个维度在两个方向上都无限延伸。卷曲，或者用技术术语来说：紧化，意味着我们将那些相距𝑅距离的点定义为相同的点。所以当你沿着这条轴移动一段距离𝑅，你会在你开始的地方结束。我们所做的就是把这个维度变成一个圆圈，这就是为什么人们叫它卷曲的维度。

假设在“玩具”世界中，除了正常的维度外，还有一个额外的卷曲维度𝑅我们称这个方向的坐标为𝑦。假设我们捕获了一个粒子在𝑥-space的同一个区域。那么

我们可以很容易地用分离方法将这个偏微分方程转化为常微分方程

代入薛定谔方程得到

其中，上标符号分别表示对单个变量𝑥或𝑦的导数。除以𝜙𝜒：

也可以写成

注意，这里的左边是𝑥的函数，而右边不是。右边是关于𝑥的常数。我们称这个常数为-𝐶^2。然后，乘以𝜙，我们可以将方程写成

这就是谐振子的方程，它的通解是

同样的论证也适用于𝜒，但这次是针对𝑦，而不是𝑥。在这个例子中表示常数𝐷，我们有

让我们在边界条件下固定一些常数，得到

此外，我们有

因为𝑎_1不可能是零（这意味着𝜓=0，这意味着根本没有粒子），我们必须有

对于𝜒(𝑦)，唯一的边界条件是维度是卷曲的，所以

这意味着常数𝐷必须具有正确的大小，使周期𝜒等于𝑅：

其中𝑘≥0为整数。

总之，我们有了波函数的解

将解代入薛定谔方程，就可以得到允许的能量

这取决于𝑛和𝑘。𝑘=0是允许的，所以在这种情况下，变化𝑛的能量是相同的，没有额外的维度。但是通过𝑘>0，我们可以获得额外的能量级别！为什么我们还没有观察到呢？

因为，如果𝑅非常小，那么来自额外维度的能量项是巨大的。所以，在这种情况下，任何来自额外维度的能级，只有在非常高的能量时才会可见。如果𝑅真的很小，那么所需的能量是如此之高，以至于我们目前的技术无法观察到。但也许，在未来的某一天，我们可以做到。