数学在某些方面与科学一样是艺术和创造力。欧拉在复数被理解之前取负数的平方根，拉马努詹研究的发散级数对当时的数学家来说没有任何数学意义，但这些结果在100多年后被应用于量子力学和弦理论。

我的观点是，有时候以一种非正式的方式来“玩”数学是可以的。当然，最终，我们需要一个有效的、一致的理论，并对定理进行严格的证明。在这篇文章中，我将给你们一些有趣的想法，这个理论实际上是一致的，更重要的是，我们可以把它应用到实际问题中。

底函数和分数函数

在解析数论中，级数和积分通常涉及到底函数所以它的定义如下：

x的底[x]等于小于等于x的最大整数，所以它“四舍五入”到最接近的整数。例如[3.2]= 3，[2/3]= 0。

另一个非常常用的函数是分数部分函数。x的小数部分表示为{x}，定义为{x} = x - [x]。例如{3.2}= 0.2，{2/3}= 2/3。

注意，这些函数不是连续的。底函数的曲线图如下：

正如你所看到的，底函数的图形在整数值处有“跳跃”，使其在这些值处不连续。

分数部分函数的图如下：

这个图在整数处有“跳跃”，但如果你把这两个图加在一起，你几乎可以看到底函数的跳跃是如何被小数部分填满的，从而得到恒等函数f(x) = x。

数论的应用

之前我说过这些函数在数论领域中被大量使用，但是具体在哪被使用，以及为什么？其中之一是一个著名的结果，阿贝尔求和。

设x > 1为实数，且实函数f可微，则下式成立：

和是1和x之间的所有自然数的和。

建议读者自己去证明这个结果，不过这里有个小的提示：

试着把积分写成一个整数区间内的积分和一个小的余数积分，从[x]到x，那么[t]因子在整个区间内是恒定的，可以从积分中提取出来。然后用微积分基本定理得到一个伸缩和，有很多消去的情况。

你可以用很多方法证明这个结果，实际上这是一个更一般的定理的特殊情况，但在这篇文章中，我们只需要上面的结果。

这个公式把和式转换成积分，反之亦然，让我们试着把它应用到一个非常有趣的和式上，也就是调和级数。换句话说，让f(t) = 1/t，我们把阿贝尔求和公式应用到这个函数上。

我们用小数部分函数扩展了底函数。注意到这里有一个ln(x)，我们可以把它移到方程的另一边。

取x在两边趋于无穷时的极限，得到一个有趣的结果：

其中γ≈0.5772…为欧拉-马斯克若尼常数（调和级数与自然对数之间的极限差，我们在黎曼猜想系列文章中讲过）。欧拉-马斯克罗尼常数充满了神秘，我们对它一无所知（尚未被证明是代数的或超越的，甚至不知道γ是否是无理数），尽管它在数论和分析中随处可见。

我不知道你在想什么。至少我在想，如果我们可以用两个被积因子{t}和1/t²来做偏积分不是很好吗？

不连续函数的不定积分

函数f的不定积分是一个可微函数F，它的导数等于原函数f，因此，不连续函数的不定积分是不存在的，因为它是不可微的。首先，回顾一下不定积分的特征是什么以及它们在分部积分法中的作用。

实际上，我们不需要假设积分因子是连续的，只需要假设它是勒贝格可积的。如果我们能找到一个函数f，它几乎在所有点上都是不定积分，这样就得到了f图下的面积，我们可以用通常的方法来做分部积分。

让我们仔细看看，如何找到函数f(t) = {t}从0到x的图下的面积公式，其中x是某个实数。有两种主要的思考方式。在这种情况下，最简单的方法是几何推导公式，因为当我们看{t}的图形时，很明显，面积将是面积为1/2的三角形的面积之和。

剩下的部分显然是1/2 {x}²，所以我们的公式是：

然而，我们将采用另一种方法，因为我想向你们展示一种更普遍的推导方法，因为将来我们可能必须找到{t}^2的积分，这在几何上不是那么容易。

利用在区间[n-1, n]上，有{t} = t - (n -1)这一事实。因此，我们可以将积分分解为具有整数端点的单元区间。具体地说：

一般来说，我们可以通过在积分中使用替换来计算小数部分的n次幂：

使用这种方法，我们可以对底函数做同样的计算。这里我将陈述两个需要解释的结果。但首先，让我说明一下：

对于一些实数C_0和C_1。

这是什么意思呢？显然，这些函数是不可微的，所以它们不能是经典意义上的不定积分，因此我们可以说这是对符号的“滥用”，但是这个符号会有意义的，请耐心听我说。

以下是我的一些观察：

这些都是实际的面积函数，在某种意义上，如果让积分确定(从a到b的积分)，用通常的方法把这些函数用作不定积分，然后我们得到两个图下的面积，这两个图的面积通常是x轴上和x轴下的面积之差。

分数部分函数和底函数仅在一组离散的点（即整数）上不可微。因此，它们实际上几乎在任何地方都是可微的，因为微分是一种局部（逐点)）运算，我们可以表述如下：

需要注意一点，微积分基本定理是不成立的。如果我们想要这样的东西，必须使用无穷级数的狄拉克函数，但我们并不需要它。

但上述观点仍然是正确的。因此我们可以用它来做分部积分。请注意，所有这些都完美地结合在了一起：

回顾欧拉常数

现在我们有了一些工具，我们该如何应用它们呢？

我们推导出了欧拉-马斯切罗尼常数的公式，现在我们拥有了足够强大的武器，可以进一步进行计算：

其中我们使用了分部积分法和关于{x}的积分公式。我们可以用部分积分来进一步接近γ。

数值分析

为了满足我自己的好奇心，我用Python做了一些数值积分。让我们创建一个用于数值积分的模块：

在一个单独的文件中，我们进行实际计算。我们从上面的模块中导入integral类，并定义分数部分函数和被积函数。

我们得到的数值大约是0.5772154，而真实值的开头部分为0.5772156649，精度还可以。如果提高精度或上限，会得到一个更好的近似，运行时间也会增加。

在数值方法中，这总是一种权衡。当然，没有什么比纯数学更好的了。