因为f是V-->V**的映射，所以f(v)(α)表示的是f作用于向量空间V中的向量元素，得到V**中的元素。
单射要求核（Ker f）为零向量的集合，即确保每个输入向量产生的结果都是唯一的。换句话说，如果 f 是单射，那么它的零空间（即满足f(x)=0 的所有 x 的集合）只包含零向量。
图1
上图既可以表示向量v的线性组合，也可以表示函数α的线性组合，所以图1既可以表示向量空间V中的元素，也可以表示对偶空间V*中的元素。
上图表示函数α作用于向量v(v是一个变量，可以代表不同向量)，从而得到其线性组合，即坐标。
这里
意思是，L是V**中的元素，是函数，L是V*-->V**的线性泛函。
表示L对V*中的元素，即函数α进行线性泛函，得到V**中的全部元素。其中（α1,α2,α3,......αm）为坐标。
这里将泛函L1,L2,....当坐标看。
这是因为
表示的是V**中的所有元素，而
又表示V中的元素与L中的元素同构，所以是V-->V**的满射。
习惯一个人
惯一个人  5 分享一个我自以为很奇妙案例供大家参考。 陀螺仪在当今社会应用很广，陀螺仪其中一个基本特性：定轴性，当陀螺转子以高速旋转时，在没有任何外力矩作用在陀螺仪上时，陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变，即指向一个固定的方向；同时反抗任何改变转子轴向的力量。这种物理现象称为陀螺仪的定轴性或稳定性。其实以上的基本特性描述是不严谨的，以上的基本特性描述是只有在转子轴向在大于0度小于90度范围内才可以成立的，在大于等于90度小于180度范围内是不成立的，在夹角等于90度时反抗任何改变转子轴向的力量大小和方向无法确定（有点像薛定谔的猫），当夹角稍微大于90度时反抗任何改变转子轴向的力量大小和方向确定，不在是保持陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变，而是指向一个固定的相反方向，明显可以重复观察到，网上有卖金属倒立自动翻转陀螺可供参考，是最典型的实践证据。自动翻转陀螺在翻转的同时重心增高，势能变大，传统物理学理论无解。 陀螺仪的定轴性，在反抗任何改变转子轴向过程中如果不存在重力以外的外力，定轴性表现是和轴向角动量守恒是冲突的。研究结果可以理论个实验重新定义 时间 和 空间。
无言
那么兀也是圆周长成物理向量动点合成圆无限值与圆直径的比，π就成了个向量？或R是动向量，圆长为定向量，的π？难受啊！思维是我们的尺子量不准R和C。比值π不可能存在的理所当然，且有人拿来作无用功。这是西夷人的给人间埋的坑
无言 回复 02-03 23:07
这是造成数学物理的危机所在。即数目的细化和量化及群组群论，或数目计算的物理级别的原子化，