1831年，高斯表达了他对“实无穷”的恐惧，

我反对把无穷量作为一个完全的东西来使用，在数学中决不允许有这样的用法。无穷只是一种说话的方式，其真正的意义是指某些比值无限地趋近的某个极限，而另一些比值则可以无限制地增大。

康托尔既同意又不同意高斯的观点。他在1866年写到实无穷时说，

尽管在潜无穷和实无穷之间有本质的差别，前者意味着一个增加到超出所有有限限制的可变的有限量，而后者是一个超出所有有限量的固定的常量，只是它们太经常地被混淆了。

康托尔坚持认为，对实“无穷”的不加鉴别的否定，就是对事物本性的违背。1901年，罗素说，

芝诺关心过三个问题——无穷小、无穷大和连续……·魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底解决了它们。这个成就可能是这个时代能够夸耀的最伟大的成就……无穷小的问题是魏尔斯特拉斯解决的，其他两个问题的解决是由戴德金开始，最后由康托尔完成的。

康托尔的天才很早（在15岁以前）就得到了承认，对数学研究有一种着迷的兴趣。1862年康托尔在苏黎世开始了他的大学生活。次年，他转学到柏林大学。在柏林大学，他专攻数学、哲学和物理。他的数学指导教师是库默尔、魏尔斯特拉斯和克罗内克（学术之敌）。

在柏林，康托尔深入钻研了高斯的《算术研究》，写出了他的博士论文，1867年获得了博士学位。他的论文讨论高斯留下的关于不定方程

的x，y，z整数解的难点，其中a，b，c是任意已知整数。康托尔最早钟爱的是高斯的数论。在魏尔斯特拉斯的影响下，他不久就另辟蹊径，从这一理论进入到了严格的分析中，特别是三角级数（傅里叶级数）的理论中。

这个理论难以捉摸的困难，激励了康托尔更深入地研究分析的基础，这样就导致他对无穷本身的数学和哲学问题进行全面的研究，而这是关于连续、极限和收敛等全部问题的基础。康托尔在快满30 岁时发表了他的第一篇关于无穷级数的革命性论文。康托尔在这篇论文中建立的关于全部代数数的集合，显示出他是一个见识独到、极具创造性的数学家。

1874年，康托尔29岁时发表了他关于集合论的第一篇革命性论文，同年与瓦利·古特曼结婚，生了两个儿子和四个女儿。这一对年轻夫妇在因特拉肯度蜜月时，常和戴德金交往。戴德金也许是当时唯一试图认真地了解康托尔的颠覆性学说的一流数学家。

1874年这篇开拓性的论文有着建立起所有代数数集合的一个完全意想不到的、高度似非而是的性质。如果r满足一个有理整数（普通整数）系数的n次代数方程，而且如果r 不满足次数小于n的这样的方程，那么r就是一个n次代数数。

这可以推广。因为很容易证明一个类型为，

其中c_i是任意已知代数数的方程，它的任何一个根本身就是代数数。例如，按照这个定理，方程

的所有的根都是代数数，因为系数是代数数，第一个系数满足

第二个系数满足

第三个系数满足

这样，方程的次数分别是2，2，3。想象所有代数数的集合。这些数中，

有所有的正有理整数1，2，3，…，因为它们中的任意一个，比如说n，满足代数方程x-n=0，方程中的系数（1和-n）是有理整数。

但是除这些以外，所有代数数的集合还包括所有有理整系数二次方程的所有的根，所有有理整系数三次方程的所有的根，等等，以至无穷。所有代数数的集合应比其有理整数1，2，3，…的子集多包含无穷多个元素。

这在直观上不是很明显吗？它可能确实是明显的，但它恰恰是错的。康托尔证明了，全体有理整数的集合与所有代数数的集合含有同样多的元素。康托尔用“一一对应”的方法证明了这一集合理论，这一方法显示了数学家与哲学家之间在关于"数"或"量"问题上的态度差异。

数学家从来不用量本身去定义量，而哲学家会这样做；数学家定义量的相等、它们的和及它们的积，这些定义决定了量的全部数学性质。数学家甚至以更抽象、更形式化的方式，制定了符号，同时规定了符号所要遵守规则；这些规则足以表示这些符号的特性，给予它们数学意义。数学家用任意的约定来创造数学的实体。并不是所有的数学思想学派都同意这种做法，但是它们至少提出了对下述的基数定义的一种哲学。

当两个集合中的所有元素都能一对一地对应起来时，就说这两个集合有同样的基数。

例如，集合（x，y，z）和集合（a，b，c）有同样的基数，因为我们能够把第一个集合中的x，y，z与第二个集合中的a，b，c配对。再有，如果有20对已婚夫妇坐在一起进餐，那么丈夫的集合就与妻子的集合有同样的基数。作为这个同样"明显"的另一个例子，我们想起了伽利略的全体正整数平方的集合和全体正整数集合的例子，

仔细想一下，如果剔除自然数中所有的平方数，那么剩下来数的个数的恰好与原来的一样多。不管我们喜欢与否，这个赤裸裸的奇迹就出现在我们面前∶一个集合的一部分可以与整个集合有同样的基数。直觉已经被大大高估了。直觉是一切迷信的根源。

在这个阶段，一个头等重要的问题出现了，一个集合或一个类是什么呢？试想所有正有理整数的集合，问你自己，你是否能在你心里把这个全体当做一个确定的思考对象，就像三个字母的类x，y，z一样容易理解。为了领会康托尔所创造的超穷数，他要求我们做的正是这件事。

现在我们继续讲“基数”的定义，如果两个集合或类的元素能够一对一地配对，就说它们是相似的。在集合（x，y，z）中有多少元素呢？显然是3个。但是“3”是什么呢？下面的定义给出答案

一个给定类中的事物的数目，是相似于该给定类的所有类的那个类。

这个定义是1879年由戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）提出的，1901年又由罗素再次提出来。它有一点优于“类的基数”的其他定义，即它既可以应用于有限类，又可以应用到无穷类。

康托尔的“所有代数数的类相似于所有正有理整数”这一惊人结果，只是无穷类的许多完全意想不到的性质中的第一个。

例如考虑超越数的“存在”。人们怀疑当n趋于无穷时，由

的极限所决定的数是超越的，但是我们无法证明它。

超越数不是任何有理整数系数代数方程的根。

自然而然地，你会问提出了一个问题∶有多少超越数？它们比整数、有理数或全体代数数更多呢，还是更少呢？根据康托尔的定理，整数、有理数和全体代数数的数目相等，这个问题就归结为∶超越数能用1，2，3，…遍历（编号，数遍）吗？所有超越数的类（集合），相似于所有有理整数的类吗？答案是否定的，超越数比整数多得多（多无限多）。

如果一个类（集合）相似于所有正有理整数的类，就说这个类是可数的。一个可数类中的元素能够用1，2，3，…数遍；一个不可数类中的元素不能用1，2，3，…数遍，不可数类中的元素比可数类中的事物多。不可数类存在吗？康托尔证明了它们存在。事实上，在任何线段上的所有点的类就是不可数的，不论这个线段多么小。

由此我们可以知道，超越数为什么是不可数的。我们知道，任何代数方程的任何根，都能用笛卡儿几何的平面上的点表示。所有这些根组成了所有代数数的集合，康托尔证明了这个集合是可数的。但是如果在单独一个线段上的点是不可数的，那么可以推知在笛卡儿平面上的所有点同样也是不可数的。代数数点缀在平面上，就像星点缀漆黑的夜空，而稠密的黑色就是超越数的天空。

关于康托尔的证明，最值得注意的是，它没有提供哪怕是构造一个超越数的方法。根据克罗内克的看法，所有这些非构造性的推理都是不合逻辑的。

由于康托尔在他的无穷类理论中的推理大多是非构造性的，克罗内克把它看作一类危险的数学疯狂。因为克罗内克看见数学在康托尔的领导下走向疯人院，同时也因为他狂热地致力于他所认为的数学真理，所以他用手边的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“实在的无穷理论”和康托尔，而这悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。

1884年春，康托尔在40岁时经历了他的第一次精神崩溃，从而进了精神病诊所。一阵阵深深的沮丧使他在自己眼里都感到自卑，他开始怀疑他的工作的正确性。他关于无穷的正确理论的一些最好的工作是在两次发作的间歇期内完成的。当他从发病中康复过来时，他的头脑特别清醒。

随着新世纪的到来，康托尔的工作渐渐开始被人们接受了，被认为是对整个数学，特别是对分析学基础的一个重大贡献。但是对于这个理论，不幸的是同时开始出现了仍然影响着它的悖论和自相矛盾。这些可能最终是康托尔的理论注定要对数学作出的最大贡献，因为它们在围绕无穷的逻辑和数学推理的基础中意想不到的存在，促进了现在在整个演绎推理中的批判运动。

康托尔最惊人的结果是在不可数集论中得到的，不可数集最简单的例子是一段线段上所有点的集合。在这里只能谈谈他的最简单的结论之一。与直观所能预测的相反，两个不等长的线段包含着同样数目的点。我们不难看出康托尔这个结论的合理性。如下图放置不等长的线段AB，CD。线段OPQ交CD于点P，交AB于Q；这样，P和Q就配成对了。当OPQ绕0旋转时，点P在CD上移动，同时Q在AB上移动，CD上的每一个点有且仅有AB上的一个点与之“配对”。

可以证明一个更出乎意料的结果。任何线段，不管多么小，都包含着与无限长的直线同样多的点。进一步，线段包含的点，与在整个平面或整个三维空间或整个n维空间中的点同样多（这里n是大于零的任意整数）。

这里，我们还没有试图去定义一个类或一个集合。然而现在的争论似乎要求给出某种清楚的、自洽的定义。一个集合是由3个特性表示其特点的，

它包含着具有某种确定性质（比如说红色，或体积，或味道）的一切事物；

没有这个性质的事物都不属于这个集合；

集合中的每一个元素都可以被识别出是与集合中的其他事物相同还是不同。集合本身可以作为一个整体来把握。

在这一点上，我们可以回顾一下整个数学史，并注意在几乎全部数学论著中不断反复出现的两种表达方式。一类是“我们能找到一个大于2的整数”，或“我们能选择一个小于n、大于n-2的数”这样的表达。与此有明显区别的是在数学写作中一再出现的另一个习惯用语“存在”。例如，“存在一个大于2的整数”，或者“存在一个小于n，大于n-2的数”。对于出现在康托尔理论中的集合（如上面定义的），存在是不能证明的。

这两种说话方式把数学家分成两类，

说“我们能”的人认为（也许是下意识的）数学纯粹是人的发明；

说“存在”的人认为数学有它自己的超出人以外的“存在”，我们只能在我们的人生旅途中偶然发现数学的“永恒真理”，这很像一个人在一座城中散步，遇到许多街道，而他与这些街道的规划没有任何关系。

以“存在”方式来看待集合论的一个重要的例子，是由著名的策梅罗公设（公理）提供的。

对于其元素是一些集合P的每一个集合M（也就是说，M是一些集合的一个集合，或是一些类的一个类），这些集合P不空且不相交（即没有两个集合包含共同的事物），至少存在一个集合N，它恰好包含构成集合M的每一个集合P中的一个元素。

比较这个公设与前述集合（或类）的定义表明，如果集合M包含比如说无穷多条不相交的线段，说“我们”的人不会认为这个公设是不证自明的。然而这个公设看来是相当合理的，但证明它的企图都失败了，而它在一切与连续有关的问题中都相当重要。

这个公设是怎样被引进到数学中的？这将引出康托尔理论的另一个尚未解决的问题。一个有互不相同的可数的元素的集合，就像一堵墙上的所有砖头，能够很容易地排出顺序；我们只需要按1，2，3，…数遍它们。

但是我们怎样给直线上所有的点排序呢？毕竟，直线上的任意两个点之间“我们能找到”或“存在”该直线上的另一个点。如果我们每一次数墙上相邻的两块砖，墙上就又有另一块砖出现在它们之间，我们的计数就混乱了。然而直线上的点看来确实有某种顺序，因为我们能说出一个点是在另一个点的左边或是右边。为一条直线上的点排序的努力没有成功。策梅罗提出了他的公设，以使这种努力更容易一些，但是它本身还没有被普遍接受为一个合理的假设。

回到康托尔理论上。是否“存在”或者我们能否“构造”一个集合，它既不相似于所有正有理整数的集合，又不相似于直线上所有点的集合？答案是不知道。

我们已提到过弗雷格，他把“相似于一个给定类的所有类的类”定义为这个给定类的基数。弗雷格花费多年的时间，试图把数的数学置于可靠的逻辑基础上。他毕生的著作是他的《算术的基本法则》，第二卷以下面的致辞结束∶

一个科学家几乎不能碰到比这更难堪的事情了，即正当工作完成时，它的基础却垮掉了。当这部著作行将印完时，伯特兰·罗素先生的一封信就使我处于这样的境地。

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。这个集合是自己的元素吗？稍微想一想就能推敲出，不论哪种答案都是错误的。罗素提出他的“循环论证原理”作为一种补救办法∶“涉及一个集合的所有元素的任何东西，必非该集合的元素”。

为了让数学走出这一困境，希尔伯特和布劳威尔致力于把数学推理置于合理的基础上，尽管他们的方法和哲学在几个方面是极端对立的。

希尔伯特

希尔伯特向希腊寻找他的数学哲学的起源。他重新开始了毕达哥拉斯的计划，即给定一组严格而充分确定的公设（公理），一个数学论证必须按照严格的演绎推理从这些公设开始。希尔伯特使数学的公设发展纲要比希腊人的更精确，并于1899年出版了他关于几何基础的经典著作的第一版。希尔伯特的一个要求是，为几何提出的公设应该被证明是自洽的，而希腊人似乎没有想到过这个要求。为了对几何作出这样一个证明，他指出由这些公设发展出来的几何中的任何矛盾，都隐含着一个算术方面的矛盾。这样，问题又回到证明算术的一致性，一直到今天。

因此我们再次退回，询问“数”是什么。戴德金和弗雷格两人都把目光投向了“无穷”，戴德金以他的无穷类定义无理数；弗雷格以他的相似于一个已知类的所有类的类定义基数。希尔伯特也到无穷中去寻找答案，他相信，无穷对于理解有限是必需的。他强烈相信，康托尔体系最终会从炼狱中解放出来，

在我看来，这（康托尔）是数学思想的最令人赞美的果实，确实是人类智力活动的最高成就之一。没有人能把我们逐出康托尔为我们创造的乐园，

布劳威尔

在希尔伯特兴奋得意的时刻，布劳威尔出现了，他说，用希尔伯特提出的保证免除矛盾的公设的方法完成了它的使命——没有产生矛盾，但是，用这种方法不会得到任何有价值的东西；一个错误的理论，即使没有因矛盾而告终，也仍然是错误的。

布劳威尔这一反对根源是一种新的东西——至少在数学上是新的。他反对不加限制地应用亚里士多德的逻辑，特别是在处理无穷集合时，他坚持认为当这样的逻辑用于在克罗内克的意义上（必须提供一个过程的规则，使集合中的事物能由它产生出来）不能确切地构造出来的集合时，必然会产生矛盾。排中律只有当用于有限集合时才是合理的。

亚里士多德发明他的逻辑，是作为用于有限集合的一组规则，把他的方法建立在人类对于有限集合的经验的基础上，没有任何理由认为当适用于有限的逻辑应用到无穷时，会继续产生一致的结果。当我们回想起无穷集的真正定义是强调一个无穷集的一部分可以包含与整个集合同样多的元素时，这似乎是很合理的；当“部分”意味着一些而不是一切时，定义所强调的这种情形对有限集永远不会发生。

这里我们有了某些人认为的康托尔实无穷理论中麻烦的根源。至于集合的这个定义——把所有具备某种性质的事物"结合"形成一个“集合”，并不适合于作为集合论的基础，这是由于这个定义要么不是构造性的（在克罗内克的意义上），要么设想了没有人能做出来的构造性。布劳威尔宣称，排中律在这种情形的应用充其量也不过是对那样一些命题的启发式指引，这些命题可能成立，但不是必然成立，即使它们是严格运用亚里士多德的逻辑推断出来的。他还说在过去半个世纪中，许多错误的理论（包括康托尔的理论）都在这个脆弱的基础上建立起来了。

过去三分之一个世纪的争论，已经给数学的广大版图添加了新的领域——包括全新的逻辑。新的领域正在迅速地与旧有的领域合为一体，协调一致。数学的精神永存。正如康托尔所说，"数学的本质在于它的自由"。