素数（质数）之于整数就像原子之于分子，在这个意义上，每一个大于1的整数都可以写成质数的唯一乘积形式。

素数

素数是大于1的正整数，不能写成两个较小的正整数的乘积，如2，3，5，7，11，…

2300年前，欧几里得证明了素数有无穷多个，这是一个具有里程碑意义的证明。自那时起，人类对素数的研究就从未停止过。纵观历史，数学家们一直为表面上看似容易的难题所困扰。正如我们将在本文中看到的，有些质数比其他质数更特殊。

当伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯十几岁的时候，他得到了一本包含对数表的书。那个时候，对数表真的很方便，在某种程度上相当于现代的计算机。高斯对这些值非常熟悉且敏感。

在开始本文的主题之前，让我们先回顾一下什么是自然对数饿。在18世纪，欧拉定义了数字e≈2.718281828…下面的公式可以让你得到e的任意精度的值，

e是一个非常重要的数，我们都知道以e为底的指数函数的性质：d/dx f(x) = f(x)。对数函数ln（x）是e^x的反函数。对数最重要的性质是ln(xy) = ln(x) + ln(y)，也就是说，我们可以把乘积问题转化为求和问题，使问题更简单。

高斯研究了自然对数的值，他还有一本关于数论的书（尤其是关于素数的）。年轻的高斯灵光一闪，发现了他的两本书之间的联系。他看到了自然对数和素数之间的联系。高斯的发现是，

定义质数计数函数π(x)为小于等于x的质数的个数，例如，π(10) = 4，因为有4个小于等于10的质数（2、3、5和7）。高斯注意到，函数x/ln(x)和π(x)似乎随着x的增大以相同的速度增长。

更准确地说，高斯推测π(x) ~ x/ln(x)，这意味着当x趋于∞时，π(x) / (x/ln(x))趋于1。

后来，高斯发现了π(x)的一个更好的近似，即1/ln(t)从2到x的积分。如下图所示，

1859年，高斯的一个学生，波恩哈德·黎曼，发表了数论中最重要和最有影响力的论文之一。这篇短小的文章，激发了一个全新的主题，给当时的数学家们提供了一个研究素数分布的新工具。这个工具现在被称为黎曼zeta函数，它用希腊字母ζ表示。

对于Re(s) > 1，我们可以通过以下无穷级数定义黎曼zeta函数：

Re（s）表示复数s的实部。

黎曼的思想是，用复数作为这个函数的参数。zeta函数已经为当时的人所熟知，在黎曼之前，欧拉和切比雪夫对其进行了深入的研究，但都是以实数为参数。欧拉发现了这个函数和质数分布之间的联系，但他没有发现，真正的联系隐藏在另一个维度中（复数）。

事实证明，解开这种联系的关键是复数。黎曼发现，如果有人能证明：对于所有实部为1的复数（Re(s) = 1），zeta（s）≠0，高斯在15岁时所做的关于对数和质数的猜想就能成立。

在研究这些所谓的zeta函数的非平凡零点时，黎曼发现最初的几个零点位于复平面上的一条直线上，即Re(s) = 1/2这条直线。但对于高斯猜想来说，只要证明当Re(s) = 1时，zeta（s）≠0就足够了。

这个结果现在被称为素数定理。素数定理描述了正整数中素数的渐近分布。它通过精确量化质数出现的速率，形成了质数越大，质数就越不常见这一直观观点。1896年，阿达马和德·拉·瓦莱布桑利用黎曼的思路，各自独立证明了素数定理

实际上，当临界带0<a<Re(s)<b<1向Re(s) = 1/2方向不断缩小时，素数定理会得到相应的改进。因此，黎曼猜想是关于素数计数函数的一种终极表述。这就是为什么它如此重要。

孪生素数

孪生素数是指一对差为2的素数，如(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，(29,31)，…孪生素数在数轴上越来越稀疏。维戈·布伦在1915年证明了孪生素数的倒数和是收敛的。相比之下，素数的倒数和是发散的。

孪生素数的猜想是：存在无限多对孪生素数。尽管张益唐、梅纳德和陶哲轩等数学大师一直在研究孪生素数猜想，并在取得了一些突破，但这个猜想仍未被证明。

目前而言，我们已经清楚孪生素数的一些基本性质，例如，关于素数的威尔逊定理说，当且仅当4（p-1）！+p+4能被p（p+2）整除时，p和p+2是孪生素数对。

即上述条件是p和p+2为孪生素数对的充要条件。例如，孪生素数对(5,7)，根据上面的条件是35除105，结果是3，显然成立。

上面的条件可以用模运算的符号写得更简洁：4((p-1)!≡-p (mod p(p+2))。

孪生素数还有一个非常有趣的条件。

对于所有的自然数n和m，当且仅当 k ≠ 6nm ± n ±m时，6k±1均为素数（因此是孪生素数）。

相差2的素数叫作孪生素数。相差4的素数叫作表亲素数，相差6的质数称为性感素数。1849年，法国数学家波林那克推测，对于每个自然数k，有无限多个素数p，使得p + 2k也是素数。这显然是孪生素数猜想（k=1）的一个推广。

另一个被称为为第一哈代-李特伍德猜想 （first Hardy-Littlewood conjecture）的是由两位杰出的数学家哈代和李特伍德提出的。这个猜想是，

设τ（x）是素数p≤x的个数，并且p+2也是素数，那么存在一个常数C（称为孪生素数常数），使得

这有点像素数定理，只是对象是孪生素数。这自动引申出了另一个问题，能否把第一哈代-李特伍德猜想推广到表亲素数和性感素数，乃至更一般的情况。

答案是肯定的，但它附带了一个重要的条件。让我们先看看结果。

P和P + 2k是一对素数，当且仅当P (P + 2k)能整除2 k (2 k) !((p−1)!+ 1) + p (2k)!−1)，且gcd(p, (2k)!) = gcd(p + 2k, (2k)!) = 1。

这里gcd(n, m)表示n和m的最大公约数，gcd(n, m) = 1表示n和m是互质的。

结论是，这个条件是必要而不是充分的。当条件满足时，我们不能确定p和p + 2k都是素数。有时满足这个条件但不是素数的数被称为伪素数。

我相信孪生素数猜想是能被证明的，但何时能被证明还很难说。也许我们需要另一个黎曼出现。