在遥远的古希腊，毕达哥拉斯学派秉持着 “数即万物” 的理念，坚信整数和整数之比能够诠释宇宙间所有的关系，数学的和谐与完美在他们眼中就等同于自然的和谐与完美。
那时，人们对数的认知主要局限于整数和分数，认为世间万物皆可用这些 “数” 来度量。
然而，一次意外的发现，打破了这种看似完美的认知。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯在研究边长为 1 的正方形对角线长度时，惊恐地发现这个长度无法用整数或分数来表达。这个神秘的 “怪数”，就是后来我们熟知的无理数根号2。
这一发现犹如一颗重磅炸弹，瞬间在毕达哥拉斯学派内部引发了轩然大波。
对于信奉 “数即万物” 的他们来说，无理数的存在无疑是对其信仰的巨大冲击，自然的洁简之美似乎也因此破碎。为了维护学派的教义和权威，他们试图对这个新发现进行保密。
但希帕索斯无意中泄露了这个惊天秘密，相传他为此付出了惨痛的代价，被毕达哥拉斯学派的人扔进大海淹死。
无理数的发现，引发了第一次数学危机。
这场危机促使人们开始重新审视对数的理解，不再仅仅局限于整数和分数的范畴，极大地推动了数学的发展。
数学家们开始深入研究无理数的性质和规律，为数学的发展开辟了新的道路。同时，它也让人们认识到数学中存在着尚未被揭示的奥秘，激发了数学家们不断探索和追求真理的热情。
时光流转，到了十七、十八世纪，数学领域迎来了一次重大的变革 —— 微积分的诞生。
牛顿和莱布尼茨作为微积分的奠基者，他们将各种相关问题的解法统一为微分法和积分法，使微积分成为解决诸多实际问题的强大工具。有了微积分，人们能够精确测量边界曲折的土地面积，计算一条曲线的长度，解决许多以前无法解决的难题。
然而，在微积分广泛应用的同时，其基础定义却引发了一场激烈的争论，这便是第二次数学危机。
当时，微积分中频繁出现无限逼近的概念，例如无限小和 0 的区别。
牛顿时代的人们在某些情况下直接将无限小当作 0 来使用，但却无法清晰地解释其中蕴含的数学意义。
他们在计算曲线某点切线斜率时，采用在该点附近取一个边长无限小的直角三角形，用其斜边斜率来等效替代曲线在该点的切线斜率。但这种做法在逻辑上存在漏洞，因为理论上曲线某点的切线并非这个直角三角形的斜边，人们难以理解为何可以将两者划等号。
英国大主教贝克莱于 1734 年对微积分进行了猛烈的攻击，他称流数（导数）“是消失了的量的鬼魂”，认为微积分是依靠双重错误才得到了看似正确的结果。
当时，一些数学家和学者也纷纷指出微积分缺乏必要的逻辑基础，如罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”
这场围绕微积分基础定义的争论持续了长达一个半世纪之久，让数学界乃至哲学界都陷入了困惑与思考。
直到 19 世纪 20 年代，一些数学家开始关注微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，经过半个多世纪的努力，数学家们基本解决了这一矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。他们给出了连续性、极限、导数和积分的准确且严谨的定义，使得微积分在坚实的逻辑基础上得以进一步发展和应用。
实际上，第二次数学危机的本质就是0.999...和1的大小关系。简单讲，0.999...和1同样大，或者说两者是一个数，当然一样大。
如果你不认为0.999...和1一样大，说明你并没有理解微积分的概念，数学思维还停留在几百年前，不接受任何反驳，就是这么简单粗暴！
19 世纪末 20 世纪初，数学正处于空前兴旺发达的时期，集合论的诞生为数学的发展带来了新的曙光，似乎为数学家们提供了一劳永逸摆脱危机的希望，成为了数学的基础。
然而，1897 年，布拉里・福蒂揭示了集合论的第一个悖论。这个悖论表明，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集，根据定义，这个良序集有一个序数 Q，可由序数的定义又可知，序数列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，所以 Q 应该比任何序数都大，从而不属于这个良序集，这就产生了矛盾。两年后，康托发现了与之相似的悖论。
而在众多集合论悖论中，罗素悖论最为著名。
1902 年，罗素提出了这样一个问题：有一个理发师，他宣称 “自己技术精湛，会给所有不能给自己理发的人理发，满足各种挑剔的需求，大家都来我这理发吧！” 那么，这个理发师是否给自己理发呢？
如果他给自己理发，就违背了他只给不能自己理发的人理发的原则；如果他不给自己理发，又不符合他宣称的会给所有不能给自己理发的人理发这一说法。
这一悖论以简洁而深刻的方式揭示了集合论中存在的矛盾，使得整个数学大厦受到了动摇。
弗雷格在收到罗素的信后，在他即将出版的《算术的基本法则》第 2 卷末尾无奈地写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”
可见罗素悖论对当时数学界的冲击之大。
面对第三次数学危机，数学家们开始积极寻求解决之道。
他们通过将集合的构造公理化来排除那些会产生悖论的集合的存在性。
例如，在策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的 ZF 公理系统（也称 ZFC 公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（如存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个” 定义域 “为 A 的” 函数 “存在 “值域”【替换公理】等），通过这些规定，避免了定义出像罗素悖论中那样自相矛盾的集合。
尽管第三次数学危机在一定程度上通过公理化集合论得到了缓解，但至今仍未被完美解决。
现代公理集合论的大堆公理，真假难辨，却又与整个数学紧密相连，难以割舍。这意味着第三次数学危机在表面上看似解决了，实际上却以更为深刻的形式在数学的发展中延续着。它促使数学家们不断深入思考数学的基础和本质，推动着数理逻辑等相关领域的发展，让我们对数学的认识不断深化。
