辅助线:过点A作AF⊥AC,且AF=AC。
则可以证到△FAE≌△ACD(SAS),从而得到∠1=∠2,EF=BF。
因为AF⊥CE,CD⊥CE,所以AF∥CD
又因为AF=AC,AC=BD,所以AF平行且等于BD,所以四边形AFBD为平行四边形。
所以∠2=∠3,FB=AD。
所以∠1=∠2=∠3,FB=AD=EF。
因为∠1+∠4=90°,所以∠3+∠4=90°,所以△FEB为等腰直角三角形。
所以∠FEB=∠FBE=45°
因为AD∥FB,所以∠APE=∠FBE=45°。
同理,还有以下辅助线作法,证明思路一致。
典型例题2如图,在等腰△ABC中,延长AB到D,延长CA到E,连接DE,恰有AD=BC=CE=DE,求证:∠BAC=100°.证明思路:
在△ECF中,∠EFC=∠ECF=2α,∠CEF=∠EDA=60°-α
三角形ECF中,内角和为180度
求得α=40°,所以∠BAC=100°
典型例题3在△ABC中,点P为BC的中点.
【例1】(1)如图1,求证:AP<1/2(AB+BC);(2)延长AB到D,使得BD=AC,延长AC到E,使得CE=AB,连结DE.①如图2,连结BE,若∠BAC=60°,请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明;②请在图3中证明:BC≥1/2DE.此题欢迎思考留言讨论。