自19世纪以来，数学家们一直在探索一种神秘的组合结构，它以其丰富的性质和广泛的应用而著称，这种结构被称为设计（designs）。这个领域不仅对纯数学研究具有重要意义，还在编码理论、实验设计、网络通信等实际应用中发挥着关键作用。

设计理论起源于一个看似简单的问题。1850年，英国数学家托马斯·柯克曼在一本名为《Lady's and Gentleman's Diary》的杂志上提出了一个看似简单的问题：假设有15名女孩每天按照三人一排的方式去上学，一周七天里是否可以安排她们，使得在这七天里，没有两个女孩在同一排中出现不止一次？

换句话说，这个问题要求我们找到一种安排方式，使得在一周（七天）里，每天的15名女孩都被分成五个三人小组，而且这些小组的组合在七天内互不相同。同时，任何两名女孩在这七天里不会重复地成为同一个三人小组的成员。这个问题实际上是设计理论的一个经典问题，也被称为柯克曼问题。

柯克曼问题的更一般版本是这样的：给定一个有n个元素的集合（例如15名女孩），我们是否总能将这些元素分成大小为k的若干组（例如每组三人），使得每个大小为t的子集（例如每对女孩）恰好出现在这些组中的其中一个组里，而且仅出现一次？

这种结构被称为（n，k，t）设计，它是一种数学概念，用于描述一种特定的组合结构。在这个结构中，你需要将n个元素分成若干大小为k的组，同时满足一个特定条件：每个大小为t的子集只在这些组中的一个组里出现一次。

以15名女孩的例子来说，（n，k，t）设计就是要找到一种方法，将15名女孩分成大小为3的五个组，同时保证每两个女孩只共同出现在一个三人组中一次。

在这个例子中，n、k和t的值分别为：

n = 15（表示15名女孩）

k = 3（表示每组3名女孩）

t = 2（表示每对女孩）

所以，该问题的（n，k，t）设计为（15，3，2）。这意味着你需要将15名女孩分成五个大小为3的组，同时确保每两个女孩只共同出现在一个三人组中一次。

下面是另一个例子（来自量子杂志）：

这是（9, 3, 2）设计的一个例子。12个三角形覆盖了所有的边，但是没有两个三角形共享一条边。

但是，在构建（n，k，t）设计时，当k（每组元素的数量）和t（每个更小集合的大小）变得更大时，找到这样的设计变得更加困难。换句话说，对于更复杂的设计要求，找到满足条件的设计变得更加具有挑战性。

然而，Keevash在2014年证明了一个令人惊讶的结论：即使我们不知道如何构建满足特定k和t的设计，只要n（元素总数）足够大且满足一些简单条件，这种设计总是存在的。这意味着对于足够大的n，总会有一种方法可以找到满足给定k和t的设计，尽管我们可能不知道具体如何构建它。这一发现挑战了人们关于设计存在性的直觉，因为它表明即使问题变得更加复杂，设计仍然总是存在的。

为了解决他们面临的问题（证明子空间设计（subspace designs）的存在性），他们必须对Keevash最初的方法进行改进，采用了一种包含随机性和精心构造相结合的方法。这种方法在某种程度上具有神奇的特点，因为它能够在更加严格和具有挑战性的条件下取得成功。这种方法在数学研究中是相当独特和引人入胜的。

在过去的几十年里，数学家一直致力于将集合和子集的问题（如设计问题）转换为关于向量空间和子空间的问题。

向量空间是一种特殊的集合，其中的元素（向量）之间的关系比简单的点集合更严格。点是一个位置信息，而向量则告诉我们在空间中移动的距离和方向。向量可以进行加法、减法以及缩放操作。这意味着向量空间与简单的点集合相比，具有更多的结构和性质，为数学家们提供了更多研究的可能性。

在每个向量空间中，都存在着不同的子空间，例如，我们仅考虑两个方向的向量：一个指向你的右侧，另一个指向你的前方。这两个向量组合起来定义了一个二维子空间，也就是一个与地板平行的平面。

数学家处理的是有限向量空间和子空间，而不是无限向量空间。有限向量空间中的向量不能指向无穷多个方向，而且它们的长度概念与我们通常想象的长度不同。在有限向量空间中，向量的数量是有限的，而不是无穷多。这意味着这些向量空间和子空间有限制的大小和结构，使得问题更易于处理和分析。

子空间设计问题是研究n维向量空间及其子空间的问题。在满足一定条件的n维向量空间中，问题的目标是找到一组k维子空间，使得任何t维子空间仅包含在这些k维子空间中的一个里。这种对象被称为（n，k，t）子空间设计。

从概念上讲，子空间设计问题与普通设计问题相似，但子空间设计问题所涉及的排列限制更为严格。这意味着在子空间设计问题中，找到这样的子空间排列可能更具挑战性，因为它们必须满足更多的约束条件。

这个有限的三维向量空间由八个向量组成。它的二维子空间是四个向量的特定子集。

这个问题揭示了一个有趣的现象，即集合与子集的结构与性质与向量空间与子空间的结构与性质之间存在深刻的类比和相似性。因此，研究这个问题有助于深入了解这两种数学结构之间的联系。

在过去的50年里，数学家们研究子空间设计问题时，仅找到了一个非平凡（即具有特殊性质）的例子。这个例子表明，在一个13维向量空间中，可以使用三维子空间来恰好覆盖一次所有的二维子空间。要得出这个结论，需要进行大量的计算机辅助证明，因为即使n、k和t的值很小，也需要处理数百万个子空间。这种系统的复杂性远远超出了我们的想象力。

关于子空间设计问题，数学家们有不同的观点。有些数学家认为，对于任意的k和t，子空间设计可能是不存在的，或者说在大多数情况下是不可能找到的。然而，另一些数学家受到以往关于设计问题研究的启发，他们认为子空间设计应该存在。尽管证明这些设计存在可能是非常困难的，但是如果没有确凿的理由证明它们不存在，那么就应该默认它们是存在的。

三位数学家Mehtaab Sawhney、Ashwin Sah和Peter Keevash对子空间设计问题很感兴趣。他们认为，这个问题为他们提供了一个很好的机会，以研究和挖掘组合学领域重要技巧的潜力和局限性。他们想通过解决这个问题来深入了解这些技巧，并在组合学领域取得新的突破。

他们遵循了Keevash在设计工作中制定的总体策略，但由于现有问题的约束条件更为严格，所以实际上，在实施过程中，所有步骤都有很大不同。首先，他们选择了一组精心挑选的子空间，称为模板（template）。在处理大量随机子空间时，这个模板能提供稳定性和组织性，以便在解决问题时找到更有效的方法。

然后，他们使用了一种叫做Rödl nibble的基本随机过程，试图覆盖大部分剩余的子空间。然而，这个过程并没有完全解决问题，仍有一些子空间无法被整合到更大的结构中，这些子空间看起来毫无规律可循，使得将它们组织成可以正确覆盖的簇变得非常困难。这个问题需要通过其他方法来解决。

这时模板发挥了作用，他们将模板分成几部分，并将其子空间与杂乱子空间组合，将它们紧密地嵌入到可以正确覆盖的更大排列中。为了实现这一目标，他们必须仔细跟踪每一个操作，确保所有操作都有助于形成更大的整体结构。

最终，他们利用模板填补了 Rödl nibble 方法无法覆盖的空缺。模板就像一个海绵，能够吸收设计中的错误。这种方法被称为“吸收（absorption）”。

这完成了证明。虽然他们已经证明了这些子空间设计的存在性，但这个结果主要适用于非常大的 n（向量空间的维数）。换句话说，他们的证明方法对于很大的向量空间维数才有效。然而，寻找具体的、实际的示例，即对于较小的向量空间维数的子空间设计，仍然是未来的挑战和研究任务。

这项工作再次证明了数学家可以利用随机性力量以非直观的方式寻找隐藏的结构。