光之奥秘：焦距与成像的物理本质及数学刻画

光学作为物理学的重要分支，研究光的传播、干涉、衍射及成像规律。其中，焦距与成像的关系是几何光学的核心课题，从眼镜矫正视力到天文望远镜探索宇宙，其应用贯穿人类科技史。理解焦距如何决定像的位置、大小和性质，不仅需要掌握实验现象，更需通过数学建模揭示其内在规律。本文将系统推导薄透镜与球面镜的成像公式，分析像差产生的物理机制，并结合波动光学阐明衍射对成像分辨率的限制。 焦距的定义与几何光学基础焦距（focal length）是描述光学系统汇聚或发散光线能力的物理量，定义为光心（或镜面顶点）到焦点（平行光经系统后汇聚的点）的距离。对于凸透镜和凹面镜，焦距为正值；凹透镜和凸面镜则为负值。根据费马原理，光在任意介质中传播的路径满足光程极值条件δ∫n ds=0，其中n为折射率，ds为路径微元。由此可推导出球面折射公式：n_1/s + n_2/s' = (n_2 - n_1)/R其中s为物距，s'为像距，R为球面曲率半径。当物距趋近无穷大时，像距即为焦距f'=n_2R/(n_2-n_1)。对于薄透镜，其成像公式简化为高斯公式：1/s + 1/s' = 1/f该公式揭示了物像共轭关系，例如当s=2f时，s'=2f，形成等大倒立实像。实验验证中，用He-Ne激光照射焦距10cm的凸透镜，当物距30cm时测得像距15cm，与理论计算1/30+1/15=1/10完全吻合。像的虚实、正倒与放大率计算像的虚实由光线实际交汇决定：实像可投影于屏，虚像为光线反向延长线的交点。放大率β表征像与物的尺寸比，定义为β=-s'/s。负号表示倒像，例如显微镜物镜的β可达-100倍。对于由两片透镜组成的系统，总放大率为各透镜放大率乘积β_total=β_1×β_2。轴向放大率α则描述物像沿光轴的变形：α = dn'/dn = -β²当物体在焦距内（s