1977年12月，一篇革命性的论文出现在杂志《Journal d’Analyse Mathématique》上，这是一个专业的数学杂志。该研究的作者希勒尔·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）只是提供了一个定理的证明，而另一位数学家塞迈雷迪在两年前已经证明了这个定理。

尽管如此，弗斯滕伯格的论文在数学领域留下了持久的影响。他的新论点包含了一个具有深远影响的核心见解：可以将塞迈雷迪解决的那种关于整数集的问题改写为关于空间中移动的点的问题。

从那以后的几年里，弗斯滕伯格思想被一次又一次地使用，并一点一点地进行了调整和改进。今年早些时候，研究人员取得了极大的进展，他们揭示了整数集合中的无限模式。

塞迈雷迪一直在研究包含所有整数“正片段”的集合（contain a “positive fraction” of all the integer）（正密度集）。

以包含所有5的倍数的集合为例。当你观察数轴上越来越大的区域时，5的倍数继续有规律地出现。数学家们说，包含5的所有倍数的集合中的元素个数，是所有整数集合的五分之一。

相比之下，虽然素数有无限个，但随着数变大，它们变得非常稀少，以至于所有素数的数目比上所有整数的数目为零，或者换句话说，质数的密度为零。

塞迈雷迪正在寻找所谓的等差数列，或均匀间隔的数字链的例子。例如，假设有一个无限的数字序列，如完全平方数：{1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…}。完全平方数有一个长度为3的等差数列隐藏在前几项中：{1，25，49}。数列中的每一个数都比前一个数大24。

弗斯滕伯格证明了，足够大的整数集合总是包含被称为等差级数的模式。

塞迈雷迪证明了任何正密度集必须包含任意长的等差级数。这一结果在被称为加性组合学的数学分支领域具有里程碑意义。陶哲轩说，

塞迈雷迪的证明，虽然很精彩，但直到今天，可能只有三到四个人真正理解他证明。

因此，弗斯滕伯格更容易理解的观点受到欢迎。为了写这本书，弗斯滕伯格使用的方法来自他自己的数学领域——动力系统。动力系统是任何随时间变化的过程。弗斯滕伯格最感兴趣的是所谓的遍历理论。遍历理论家不是在任何给定的时间点上观察系统的状态，而是研究长期的统计数据。

弗斯滕伯格的关键思想是把整数集合看作动态系统中的瞬时状态，而不是固定的对象。这可能看起来是一个角度上的小改变，但它允许他使用遍历理论的工具来证明组合学的结果。当时，弗斯滕伯格并不知道他的想法会有自己的生命力。但其他人看到了遍历理论和组合学之间联系的希望。陶哲轩说：

整整一代遍历理论学家开始投身组合学，解决所有这些问题，反之亦然。

在过去的几年里，四位数学家——布赖娜·卡拉、乔尔·莫雷拉、弗洛里安·里克特和唐纳德·罗伯逊——发展了弗斯滕伯格的技术，不仅在任何正密度集中找到任意长级数，而且找到了称为和集的结构的无限版本。

陶哲轩说，如果说弗斯滕伯格在遍历理论和组合学之间架起了一座桥梁，那么这四个人就把它扩大成了一条六车道的高速公路。

塞迈雷迪的定理最早是由两位数学家在1936年提出的，但没有被证明。其中一位是匈牙利数学家保罗·埃尔德什，他以做各种猜想而闻名。2016年，莫雷拉偶然发现了埃尔德什关于“和集”结构的另一个猜想。

一个集合是由另外两个集合组成的；称它们为B和C。和集（写为B + C），是通过将所有可能的数字对相加来构建的，其中一个数来自B，另一个数来自C。埃尔德什猜想，对于任何正密度集A，都存在其他无穷集合B和C，它们的和集包含在A中。在莫雷拉阅读的论文中，作者已经证明了当A包含整数的很大一部分时，埃尔德什的猜想。但对于较小的正密度集，结果仍然未知。

莫雷拉把里克特和罗伯逊带到了这个研究中。这三个人都非常擅长将遍历理论技术应用到组合学中。但这个问题带来了新的挑战。

在一个正密度的集合中发现无限和实际上没有先例。

也许正是因为这个原因，和集问题被证明是难以解决的。莫雷拉说，我们不得不通过遍历理论。他们在2018年成功地证明了埃尔德什的猜想。他们的证明后来发表在数学界最负盛名的《数学年鉴》上。

这篇论文留下了两个大问题。其中一个是埃尔德什的另一个集合猜想叫做B + B + t猜想。

莫雷拉他们也提出了一个他们自己的问题：如果有一个正密度的集合A，你能找到三个无限集——B, C和D，B + C + D在A里面吗？四个无限集呢？五个呢？

在他们提出多集版本后，数学家们被困住了一段时间。看来他们用于双集合猜想的技术已经达到了极限。两年过去了，他们才看到真正的进展。卡拉说，

最终，我们想出了一些我们理解的其他变体。我们必须做的是重新思考证明的每一步，从转化为一个动力系统开始

法国数学家伯纳德·霍斯特2019年发表的一篇论文有助于他们的研究。霍斯特已经重新证明了莫雷拉他们的结果。

有了霍斯特的改进，卡拉、莫雷拉、里克特和罗伯逊继续调整他们的证明，试图提取最简单，最优雅的论点。他们最终得到的证明，就像弗斯滕伯格的证明一样，把无限的整数集合看作动力系统中的时间戳。然而，这个动力系统最好被想象成在空间中跳跃的点。

下面是它的工作原理：首先站在一个封闭房间的一个角落，称之为0角落。有一个时间A的集合，这个集合是一个正密度的整数集合。

然后制定在房间里走动的规则。每一秒，你都会移动到一个新的位置，基于你刚才站的位置。你遵循的确切规则将被设计成与集合A相匹配——只要时间戳在A中，你就会发现自己在房间的一个特殊区域。

例如，假设A由所有能被4整除的数字组成，每秒钟，你就顺时针移动到房间的下一个角落。一秒钟后，你移动到角落1；两秒钟后，角落2，以此类推。然后，每走四步，意思是每次在A处，你就会回到最初的0角落。

这个过程会一直持续下去。沿着顺时针方向从一个角走到另一个角，你会无限次地访问每个角。接近无穷次的点叫做聚点。

卡拉他们证明了你可以巧妙地选择其中一个点来找到你的集合B + C。在角落的例子中，以角落1为例。你到达那里的次数是1，5，9和13乘以某个整数如4n + 1，设B是这些次数的集合。

现在想象一下，不是从角落0开始，而是从角落1开始。这意味着当次数能被4整除时，你会发现自己回到了角落1，然后你会在三步后到达角落0：次数为3、7、11或任何形式为4n + 3的数字。C是这些次数的集合。

现在，再次从0角落开始。这一次，看看如果从B中取一个数字，从C中取一个数字（比如说，从B中取13，从C中取3），把它们相加会发生什么。

最后，我们得到了一个证明它和最初的证明几乎没有相似之处。

这需要13 + 3 = 16秒。因为16是4的倍数，所以它在A中，但你也可以预测13 + 3能被4整除，因此在A中，不需要13和3相加。只要看看当你等待13 + 3秒时动力系统会发生什么。这时，你会发现自己在角落1。然后，从角落1开始，你再移动3步，这将带你回到角落0。因为你从角落0开始，最后回到那里，你一定等了4秒的倍数，这意味着总时间是原始集合A中的一个数字。

为了使这一论点站得住脚，该小组不得不处理许多繁琐的数学细节。例如，在大多数情况下，你有无限个可移动的角落，而不仅仅是四个角落。这意味着你不会无数次回到一个地方;你只能无限次地接近它。这为这一论证引入了新的数学复杂性。但一旦他们弄清楚了这个过程是如何运作的，他们就知道他们能够解决他们想要的更难的问题。例如，为了证明猜想的多集合版本，研究人员只需在路径上添加一个聚点。总体上的论证是一样的，只是增加了一层新的复杂性。

敲定所有的技术细节并不容易。在确定了动力学结构后，克拉他们花了一年多的时间来证明更困难的猜想。今年6月，该小组终于发表了两篇论文。一个证明了和集猜想的多集版本。另一个证明了B + B + t版本的猜想。