一个简单的最难问题

在数学领域，许多表述起来很简单的问题，解决起来却比登天还难，费马大定理就是其中的经典代表。17世纪，皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）提出了费马大定理，该定理指出，当n>2时，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。

法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。（图/Wikimedia Commons）

数百年来，在求解费马大定理的前进道路上诞生了许多伟大的数学家。费马本人证明了n=4的情形，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）证明了n=3的情形，苏菲·姬曼（Sophie Germain）证明了适用于无穷多素数指数的第一个一般性结果。恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）对这一问题的研究揭示了代数数论中的几个基本概念，例如理想数和唯一因子分解定理。

在接下来的356年里，没人能证明这个定理的一般情形。很快，费马大定理就以其难以置信的困难程度而闻名。有成千上万的错误证明被提出，它甚至被吉尼斯世界纪录列为“最难的数学问题”。

终于，时间来到20世纪90年代。数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）提出了费马大定理的最终解决方案，为这个研究了三个多世纪的数学问题画上了完美的句号。

英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）（图/Abel Prize）

1993年6月，怀尔斯在剑桥大学的艾萨克·牛顿研究所进行了三场演讲。6月23日，在三场演讲中的最后一场中，他详细介绍了他对费马大定理的求解，在数学界引发巨大的轰动。

一座连接两个世界的桥梁

历史证明，数学中的许多最伟大突破都可以在看似不相干的学科分支之间建立联系。这些联系可以让数学家将问题从一个分支转移到另一个分支，并获得新的工具、技术和见解。

怀尔斯的证明也不例外，他的工作除了解决了一个长期悬而未决的大难题之外，还标志着在两个重要但看似非常不同的数学领域之间建起了桥梁。

怀尔斯的完整证明与数论中椭圆曲线和模形式概念有关。椭圆曲线既不是椭圆也不是曲线，而是通过由两个变量构成的三次方程（y² = ax³ - bx + c）定义的。属于尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (Niels Henrik Abel) 提出的椭圆函数这一概念的自然范畴里。

椭圆曲线的图形。（图/Wikimedia Commons）

模形式是一种函数，它是在复平面上的上半部分定义的解析函数。这些函数的特殊之处在于，它们是高度对称的，并能通过被称为模曲线的形状表示出来。

模形式的对称性可以从它如何变换圆盘中看出来。（图/Wikimedia Commons）

20世纪五六十年代，志村五郎 （Goro Shimura）、 谷山丰 （Yutaka Taniyama） 和安德烈·韦伊 （André Weil）提出，在有理数范围内定义的每个椭圆曲线都是模的。这便是所谓的模性质猜想，被称为谷山-志村猜想，将椭圆曲线与模形式联系了起来。

一个证明

模性质猜想似乎与xⁿ + yⁿ = zⁿ 这样的方程没有任何关系。但到了20世纪80年代，越来越多的研究工作表明，莫性质猜想与费马大定理之间意外地存在联系，而且证明费马大定理的关键，就是证明谷山-志村猜想。

首先，在1985年，格哈德·弗雷（Gerhard Frey）意识到，如果费马大定理是错的，即当n>2时，方程xⁿ + yⁿ = zⁿ存在正整数解，那么这个解就会产生一个奇特的椭圆曲线。接着，在1986年，肯尼斯·瑞贝（Kenneth Ribet）证明了这样的曲线不可能存在于模性质猜想成立的情形中。

他们的研究表明，如果数学家能够证明模性质猜想，那么费马大定理就一定是正确的。怀尔斯用了7年的时间试图证明这个困难的猜想，取得了惊人的进展。1993年，他离证明了模性质猜想的一个特例非常接近，而这个特例是证明费马大定理所需的全部。

正如前文所提到的，1993年6月，他向大众公布了他的工作。尽管随后的同行评审发现怀尔斯的证明中有一个漏洞，但怀尔斯和他以前的学生Richard Taylor用一年的时间弥补了这个漏洞，并巩固了费马大定理作为数学真理的地位。

持久的效应

费马大定理及其解的影响持续在数学界回响。2001年，包括Taylor在内的一组研究人员在一系列受到怀尔斯工作启发的论文中，给出了模性质猜想的完整证明。这个完整的椭圆曲线和模形式之间的桥梁，成了理解数学的基础。

怀尔斯的工作被认为开启了“数论的新时代”，对现代数学的重要部分至关重要，包括广泛使用的加密技术和被称为朗兰兹纲领的大型研究工作。朗兰兹纲领旨在在数学的两个基本领域——代数数论和调和分析之间，建立一座桥梁。

虽然怀尔斯大部分时间都是独自工作，但他最终还是需要同事的帮助来识别和填补他最初证明中的漏洞。今天的数学更多地是一种协作的努力，正如完成模性质猜想所需要的证明所显示的那样。这些问题既大又复杂，往往需要各种专业知识。

参考来源：

https://theconversation.com/proving-fermats-last-theorem-2-mathematicians-explain-how-building-bridges-within-the-discipline-helped-solve-a-centuries-old-mystery-207968

https://abelprize.no/page/press-room-sir-andrew-wiles

封面图&首图：AP Photo/Charles Rex Arbogast