为了研究二次函数的图象和性质，我们将从最简单的二次函数 y=x²开始，并且以它为基础来推出一般二次函数的图象和性质。
1.函数y=x²的图象
在§2.7里，我们曾经画过函数y=x²的图象，它是图4.2所示的一条抛物线．
以后我们把函数 y=x²的图象，简称为抛物线 y=x²。从这个图象我们可以看出，抛物线 y=x²有下面的性质：
(1）抛物线 y =x²通过原点，其他各点都在x轴的上方。
(2）如果把图象沿着 y 轴翻折转过来，那就可以看到，抛物线在 y 轴右边的部分将完全和 y 轴左边的部分重合（例如 A和 A'重合， B 和 B'重合， C 和 C'重合，等等）.通常我们说抛物线 y=x²关于 y 轴是对称的①. y 轴叫做抛物线 y = x²的对称轴，抛物线和它的对称轴的交点，叫做它的顶点。
很明显，抛物线 y=x²的顶点就是原点 O (0,0).
(3）抛物线 y=x²从顶点起向右和向左都是无限伸展的。
＊上面我们从图象上看到的这些事实，也可以从函数 y=x²这个关系式中推出。
(1）因为，不论x是正数、负数或者是零，它的平方总不会是负数。
就是
x²≥0，
所以 y 的值都不能是负数，且当 x=0时， y=0.这就说明了它的图象一定通过原点，并且在x轴的上方。
(2）因为(-x)²=x²,所以当 x 取绝对值相等而符号相反的数值
①如果线段 PP'被一条直线垂直平分，那末就说 P点和P'点是关于这条直线对称的。
时， y 的两个对应值是相等的（例如 x =1, y =1; x =-1, y =1;等等）.这就是说，如果一点 A ( x , y ）在函数 y=x²的图象上，那末必定有另一点 A'(- x , y ）也在它的图象上。这两点到 y 轴的距离相等，所以函数 y=x²的图象关于y轴是对称的。
2．函数 y =ax²(a≠0)的图象
这里 a 可以是正数或负数，我们分两种情况来研究．
(1）设 a 是正数．例如我们在同一坐标系中，来画下面这三个函数的图象：
y=2x²，y=x²，y=½x².
我们先作出下面的表：
从这个表可以看到，对于同一个 x 的值，函数 y=2x²所对应的值是函数 y =x²所对应的值的2倍（例如，当 x =1的时候，函数 y =2x²所对应的值是2，函数 y =x²所对应的值是1，2是1的2倍，等等）．所以要画出函数 y=2x²的图象，可以用函数 y=x²的图象为基础，把图象上每一点的纵坐标扩大到原来的2倍，得到一些新的点，然后把这些点用平滑的线连接起来。
同理，要作出函数 y=½x²的图象，也可以用函数 y=x²的图象为基础，把图象上每一个点的纵坐标缩小到原来的½，得到一些新的点，然后用平滑的线把它们连接起来。
这样，就得到这三个函数的图象如图4.3.
这里，我们看到函数y=2x²和函数 y=½x²的图象仍旧是抛物线，它们仍都在 x 轴的上方，并且仍以 y 轴和原点为对称轴和顶点。只是抛物线 y=2x²的开口比抛物线 y=x²的开口小一些，而y=½x²的开口，比 y=x²的开口大一些．
(2）设 a 是负数。例如，我们要画函数y=-x²
的图象，也可以在函数y=x²的图象的基础上来研究。
从这个表可以看到，对于同一个 x 的值，函数 y=-x²所对应的值，恰巧是函数 y=x²所对应的值的相反的数。所以只要把函数 y=x²的图象上的每一个点的纵坐标改为它的相反的数（就是取这个点关于x轴的对称点，或把图象沿x轴折转过来），把新得到的这些点用平滑的线连接起来，就得到函数 y =-x²的图象（图4·4)。
这个图象仍旧是抛物线，它的对称轴还是 y 轴，顶点还是原点，不过图象是在x轴的下方。
同样，从函数 y =2x²和 y=½x²的图象可得出函数y =-2x²和 y =-½x²的图象，它们也是以 y 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线，但是图象在x轴的下方（图4.5)。
总结上面这两种情况，我们知道：
函数 y=ax²的图象是一条抛物线，它的对称轴是 y 轴，顶点是原点。当 a >0的时候，抛物线 y=ax²在x轴的上方(开口向上)，在 y 轴的左右两侧同时向上无限伸展；当 a <0的时候，抛物线 y=ax²在x轴的下方(开口向下)，在 y 轴的左右两侧同时向下无限伸展．
习题4.2(1)1．在坐标纸上画出函数 y=x²的图象。
(1）根据图象，求当 x=1.5; x =2.3; x =-1.4时， y 的值（精确到0.1);
(2）根据图象，求当 y =2; y =3; y =4.5时，对应的 x 的值（精确到0.1);
(3）利用图象求√5,√7的值（精确到0.1)。
2．在同一坐标系里作函数
y=⅓x²，y=3x²，y=-3x²，y=-⅓x²
的图象。这些图象有哪些相同的地方？哪些不同的地方？
3．函数 y =ax²+c (a≠0）的图象
在§3.1里，我们曾经用平行移动的方法，以函数 y=kx 的图象为基础来画出函数 y=kx+b 的图象。同样地，我们也可以用函数 y =ax²的图象为基础，把它向上（当 c >0时）或者向下（当 c <0时）平行移动|c|个单位，而得到函数
y=ax²+c 的图象．
例如，我们把函数 y=2x²的图象向上移动1个单位，就可以得到函数 y=2x²+1的图象；向下移动3个单位，就可以得到函数 y =2x²-3的图象（图4·6).
所以函数 y=ax²+c 的图象仍旧是以 y 轴为对称轴的抛物线，但是它的顶点的坐标是（0, c ).
当 a >0时，抛物线向上张开，当 a <0时，抛物线向下张开．
函数 y=ax²+ bx + c ( a ≠0)的图象例如我们来研究下面这些函数的图象：
y=½x²+x+½, (1)
y=½x²-x+½, (2)
y=½x²-x+5/2. (3)
为了研究的方便，我们先把等号右边的式子，进行配方，
得到
½x²+x+½=½(x²+2x+1)=½(x+1)²,
½x²-x+½=½(x²-2x+1)=½(x-1)²,
½x²-x+5/2=½(x²-2x+1)+2=½(x-1)²+2.
这样上面这三个函数就可以分别改写成：
y=½(x+1)², (1')
y=½(x-1)², (2')
y=½(x-1)²+2. (3')
现在先来研究函数y=½(x+1)²的图象。因为它和函数y=½x²很相象，我们把它们联系起来研究。
首先，我们作出下面的表：
从这个表里我们看到，函数 y =(x+1)²在自变量取某一值时，所对应的函数值，恰巧和函数 y=½x²在这个自变量取大1个单位时所对应的函数值相同，如表中箭头所示。这就告诉我们，在函数y=½(x+1)²的图象上，横坐标是x₁的点的纵坐标就等于函数 y=½x²的图象上横坐标x₁+1的点的纵坐标。利用这个关系，我们只需把函数
y=½x²的图象上的每一个点向左方平行移动1个单位，就可以得到函数
y=½(x+1)²的图象（图4.7)。
这样，我们也就看出，函数 y =½(x+1)²的图象，是和函数
y=½x²
的图象一样的一条抛物线，不过它的对称轴是直线 x =-1，顶点的坐标是（-1,0).
同理，把函数y=½x²的图象向右方平行移动1个单位，就得到函数 y=½(x-1)²的图象（图4.8)。这个函数的图象仍旧是一条和 y=½x²一样的抛物线，不过它的对称轴是直线 x =1，顶点的坐标是(1,0).
仿照从函数 y=ax²的图象作出函数 y=ax²+c 的图象的方法，我们也就知道，
函数 y=½x²+2的图象可以把函数 y=½(x-1)²的图象向上平行移动2个单位而得到（图4.9)。它还是和函数 y=½x²的图象一样的一条抛物线，不过它的对称轴是直线x=1，顶点的坐标是(1,2).
一般地，因为
图片
所以我们得到：
函数 y =ax²+ bx + c ( a ≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线
，顶点的坐标是
(1)当 a >0时，抛物线从顶点起在直线
的上方，在其对称轴的两侧同时向上无限伸展；
(2）当 a <0时，抛物线从顶点起在直线
的下方，在其对称轴的两侧同时向下无限伸展。
习题4.2(2)1．以函数 y =x²的图象为基础，你怎样可以不通过计算就画出下面一些函数的图象？
(1) y =x²+2;
(2) y =x²-2;
(3) y =(x+1)²;
(4) y =(x-1)²;
(5) y =(x+1)²+2;
(6) y =(x-1)²-2;
(7) y =(x+1)²-2;
(8) y =(x-1)²+2.
2．把下面这些函数，改写成 y = a(x+m)²+k的形式：
(1) y=x²+ x +1;
(2) y=x²+2x;
(3) y=2x²-x+1;
(4) y=(x+2)(x+3).
3．求下面这些抛物线的对称轴、顶点，和开口的方向（不作出图象）:
(1) y =2x²-4x+2;
(2) y =2x²+4x-6;
(3) y =3x²-5x;
(4) y =-⅓x²-2x-5
下期预告：
§4·3二次函数图象的作法
在§4.2里，为了要说明二次函数 y =ax²+ bx + c ( a ≠0)的图象是一条抛物线，所以先作出二次函数 y =a²的图象，在这基础上一步一步地推出一般的二次函数 y =aa2+ ba + c 的图象。但是，在实际作图的时候，却可以不必套用这种方法．我们只需找出抛物线的对称轴和顶点，然后再找出抛物线上的几个点，就可以相当精确地把抛物线画出．下面我们
......
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