图的模空间是数学中一个迷人的主题，与各种领域有联系，包括拓扑、代数几何和数学物理。特别是，它与代数曲线理论密切相关，代数曲线是可以用双变量方程描述的几何对象。曲线的模空间是代数几何中的一个重要课题，图的模空间与曲线的模空间之间有着深刻的联系。

数学中的图就是点的集合，这些点被称为顶点（vertices），它们被边（edges）连接起来。图的模空间是描述具有固定数量顶点和边的所有可能的图的空间。换句话说，它是一个包含给定类型的所有图的空间，空间中的每个点代表一个不同的图。

图的模空间具有丰富而复杂的结构，有许多有趣的性质尚未被完全理解。模空间最重要的方面之一是它的维数或秩（rank），它描述了完全确定一个图所需的参数的数量。例如，有n个顶点和m条边的图的模空间的秩为2m - 3n + 5。这个公式被称为赫维茨-康采维奇公式（Hurwitz-Kontsevich formula）。

图的模空间的另一个重要性质是它的拓扑。模空间可以看作是一个几何对象，空间上不同的点对应不同的图形。该领域的关键问题之一是了解空间的拓扑结构，以及它如何随着顶点和边的数量的变化而变化。

图的模空间领域的最新进展来自于量子场论技术的应用。上个月，凯伦·沃格特曼（Karen Vogtmann）和迈克尔·伯林斯基（Michael Borinsky）发布了一个证明，证明了图的模空间有大量的数学结构。两人用物理学的语言（量子场论）重新构想了这个问题，使用量子场论的技术得出了他们的结果，证明证明了模空间中存在某些结构，但没有明确地揭示这些结构是什么。这意味着，有一些有趣的东西隐藏着，即使他们不能完全描述它。

左：迈克尔·伯林斯基；右：凯伦·沃格特曼

对于图的每一个秩，都存在一个模空间。这个空间的大小增长很快：如果固定图中边的长度，具有一定秩的图的数量（图中环的数量）会随着秩的增加而快速增长。具体来说，如果秩是2，就只有3个可能的图。如果秩是3，有15个可能的图。如果秩是4，有111个可能的图。如果秩是10，有2,314,204,852个可能的图。

这些是与模空间相关的图的例子。每个图的秩是由循环的数量给出的。数学家还根据顶点的数量对图进行分类。随着秩的增长，具有该秩的可能图的数量迅速增长。

给定秩的图的模空间的形状由图之间的关系决定。当你在空间中走动时，附近的图形应该是相似的，并且应该平滑地相互转换。在某些情况下，可能存在模空间的三个不同的墙壁相互交叉的区域，这在数学上可能令人不安。这种现象类似于化学中的三相点，即物质的三个相（如固体、液体和气体）可以在平衡状态下共存。在图的模空间中，空间墙之间的三重交点可以表示不同图之间有趣的关系。

数学家可以使用称为上同调（cohomologyes）的对象来研究空间或形状的结构，这有助于揭示空间是如何组合在一起的。例如，考虑数学家最喜欢的形状之一，甜甜圈。在甜甜圈上，上同调类是简单的环。

人们可以在甜甜圈的表面画出几种不同的环：环1围绕着甜甜圈的中心孔（洞）；环2穿过孔；第三个（平凡环）位于甜甜圈的一侧。

在数学中，上同调是理解空间拓扑结构的强大工具，包括分析它们的几何性质，如它们如何连接或它们有多少孔。上同调类用于精确而系统地测量和描述这些性质。

特别是上同调类可以帮助揭示一个空间是如何组合在一起的，以及当你在它周围移动时它是如何变化的。它们可以用来区分不同的形状或空间，这些形状或空间可能看起来相似，但具有不同的拓扑性质。例如，球面和环面的上同调类是不同的，尽管它们看起来都是圆形的三维物体。

在图的模空间的背景下，上同调类可以用来研究图与模空间本身的结构之间的关系。它们可以帮助揭示模空间是如何组合在一起的，包括任何不寻常或令人惊讶的特征，例如模空间的多个墙相交的区域。通过使用上同调来更好地理解图的模空间，数学家可以对图本身的性质及其在数学和科学研究中的作用有新的见解。

然而，并非所有上同调类都是等价的。甜甜圈上的平凡环（Trivial loop）可以一直滑动或缩小，以避免与另一个圆环相交。但环1和2更多地说明了甜甜圈的结构。环1和2可以在甜甜圈的表面上滑动，但除非你强迫它们完全脱离表面，否则它们总是会彼此相交。所以它们是“非平凡的”上同调类。

与甜甜圈不同的是，数学家不能仅仅通过画图就找到图的模空间上的上同调类。由于图形太多，模空间很难处理，即使最强大的计算机也无能为力。

沃格特曼和伯林斯基证明了在给定秩的图的模空间中存在大量的上同调类，尽管找不到它们。他们没有直接研究上同调类，而是研究了一个叫做欧拉示性数的数（Euler characteristic）。这个数提供了模空间的一种测量方法。你可以在不改变它的欧拉示性数的情况下，以某种方式修改模空间，使得欧拉示性数比上同类本身更容易获得。他们没有直接处理图的模空间，而是研究了一种称为“脊柱（spine）”的东西——本质上是整个空间的骨架。脊柱与模空间本身具有相同的欧拉特征，更容易处理。计算脊柱上的欧拉示性数可以归结为计算大量对图的集合。

欧拉示性数是一个拓扑不变量，通过从顶点和边的数量中减去表面上的孔的数量来计算给定的表面或空间。欧拉在18世纪首次发现了它的性质。欧拉示性数在数学的许多分支中都很重要，包括几何、拓扑和代数拓扑，在物理学和工程中也有应用。它提供了一种简单的方法来比较不同的表面和空间，并区分它们。例如，球体的欧拉示性数为2，而环面的欧拉示性数为0。

伯林斯基想到了用费曼图来理解图的模空间。费曼图是理论物理学中用来表示亚原子粒子行为及其相互作用的可视化工具。20世纪40年代，物理学家理查德·费曼首次提出了量子粒子，作为简化量子场论中复杂计算的一种方法。比如，当物理学家想要计算一个电子和一个正电子碰撞产生两个光子的几率时，他们需要把所有可能导致这种结果的相互作用加起来。

伯林斯基把这些图想象成宇宙的一个简单版本中的物理系统，在这个宇宙中，只有一种类型的粒子。为了得到正确的计数，量子场论框架需要一些调整。在物理学家Jos Vermaseren的帮助下，他们最终证明了当n变大时，秩为n的图的模空间的欧拉示性数显著地为负。这意味着在每个模空间中有很多很多非平凡上同调类有待被发现。

虽然伯林斯基的论文中没有包含关于这些上同调类的进一步揭示，但对于那些试图寻找它们的研究人员来说，这是一个令人鼓舞的结果。