伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。该理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。

伽罗瓦理论起源于代数方程根式求解问题，该问题在19世纪之前一直是代数学研究的核心问题。代数方程根式可解，即该方程的解可由方程的系数经有限次加、减、乘、除以及开整数次方运算表示。早在古希腊就已经得到了二次方程的求根公式，到十六世纪中叶，一批意大利数学家已相继给出三次方程和四次方程的根式解法，此后的两百多年间，数学家们致力于探求五次及以上方程的根式解法，直到1826年阿贝尔严格证明了大于四次的代数方程没有根式解，几乎与阿贝尔同时，1830年前后法国数学家伽罗瓦给出代数方程根式可解的充分必要条件，解决了这一难题，由此创立发展出来的理论方法被后人称为伽罗瓦理论。

伽罗瓦1811年10月25日出生于法国巴黎附近的布拉雷纳市。从1827年开始，伽罗瓦对数学产生了极度的兴趣。1828年，伽罗瓦报考了巴黎综合工科学校，这所大学的数学系是当时法国最具声望的研究机构，令人遗憾的是，他未被录取。同年，伽罗瓦进入巴黎高师预科班学习，虽然当时后一所学校的数学较前一所要差一些，但伽罗瓦在那里找到了欣赏他的教授。

1829年4月，伽罗瓦发表了他的第一篇论文，是关于连分数的研究。与此同时，他在代数方程理论方面作出了开创性的工作，并向巴黎科学院提交两篇论文，论文交由柯西和泊松审查，但是没有被发表。同年，伽罗瓦再次报考了巴黎综合工科学校，仍然未被录取，这一年年底，他通过了升入巴黎高师的学位考试。

次年1月初，柯西建议伽罗瓦根据阿贝尔最近出版的作品修改其代数方程的论文，并合写成一篇论文重新提交。1830年2月底，伽罗瓦提交了一个新的版本，并由科学院秘书傅立叶审查，但几周后傅立叶去世，论文也不知所踪。1831年1月17日，19岁的伽罗瓦再次向法国科学院提交了《关于方程根式可解的条件的论文》，由拉克鲁瓦和泊松审稿，然而这篇论文以论证不够充分为由，在同年7月4日被驳回。

1832年5月29日，伽罗瓦对1831年版本的手稿进行了修改，增添了一些旁注，并将该手稿托付给他的朋友舍瓦利耶。十五年后，刘维尔在自己主办的杂志《纯粹与应用数学杂志》出版了这一数学史上的著名篇章——《关于方程根式可解的条件的论文》（Mémoire sur les condictions de resolubilite des équations par radicaux）。

伽罗瓦在《关于方程根式可解的条件的论文》中，通过定义"方程的群"，把方程的系数域对应到根的某种置换群，用群论的方法来研究代数方程的解，进而得到代数方程根式可解的充分必要条件是方程的群存在一个递降的正规子群链，亦即方程的群是可解群，从而解决了这一难题，伽罗瓦理论由此建立。方程的群是伽罗瓦这套思想方法的核心概念，它被定义为保持根的有理函数不变的置换群，后来被称为伽罗瓦群。伽罗瓦群的定义揭示了方程的系数域与根的置换群对应的关键思想。

伽罗瓦大约从1828年开始考虑什么样的代数方程是根式可解的，在此之前，他已经学习过拉格朗日和高斯的经典著作，从那里打下了高等代数学的基础。在伽罗瓦的时代，大于四次的一般代数方程没有根式解这一观点应该已经在数学界广为流传。伽罗瓦曾在1832年的一份笔记中写道：

今天一个众所周知的事实是，次数大于4的一般方程不能用根式来求解，也就是说，它们的根不能表示为系数的函数，这些函数除了根式之外不包含其他无理式。

这个事实已在某种程度上通过传闻广为人知，尽管大多数几何学家不知道鲁菲尼、阿贝尔等人对它的证明，这些证明是建立在这样一个事实上的，即五次方程不可能有这样的解。

显然，至少在1832年时，伽罗瓦知道阿贝尔的证明，但是在1831年的一份笔记中，关于阿贝尔的工作，伽罗瓦指出∶

可以肯定的是，阿贝尔并不知道具体情形的根式求解问题。所以我提到（阿贝尔的）这篇论文，只是为了声明它与我的理论没有关系。

如伽罗瓦所言，他本人在完成其理论时并不知道阿贝尔的理论，虽然阿贝尔的遗稿表明他也关注代数方程根式解的一般讨论，但人们了解这一点已经在1839年之后了，伽罗瓦当然也不知道，他所说的阿贝尔的理论是指阿贝尔五次方程不可能性的证明，以及稍后的一类特殊方程的根式可解性研究。

高斯在《算术探索》中介绍了分圆方程

另一方面，从伽罗瓦论文对高斯的提及可以获知，伽罗瓦熟悉高斯有关分圆方程的研究。对伽罗瓦而言，五次及以上的一般代数方程没有根式解，而某些特殊类型的代数方程是根式可解的，这是已经清楚的。因此，伽罗瓦要考虑的问题是代数方程根式可解的判定准则，如他自己所说的“对所有的情况给出是或否的答案”。

伴随着群论和域论的发展，伽罗瓦理论从有关代数方程可解性的理论发展为有关域和群的结构的一般化理论。从这个角度，伽罗瓦建立的理论是代数方程的伽罗瓦理论，与之对应的则是一般化的现代伽罗瓦理论，前者是后者的历史与特例，后者是前者的发展与抽象。

戴德金

从代数方程的伽罗瓦理论到现代伽罗瓦理论，戴德金在这一发展中作出了重要贡献。戴德金的第一个关于伽罗瓦理论的工作是他在哥廷根的高等代数讲座（1856~1858 年）。同时期的数学家，关注代数方程的可解性理论与置换理论之间的相互关系，而戴德金则关注伽罗瓦理论本身的理论基础。在代数讲座中，他发展了抽象群的概念，引进了数域的概念和术语，并从伽罗瓦的代数方程理论中提取了多项式分裂域的子域与伽罗瓦群的子群对应的思想，这正是现代认为的伽罗瓦理论的核心。

戴德金的第二个关于伽罗瓦理论的工作是1894年出版的狄利克雷《数论讲义》的附录。在这个附录中，伽罗瓦理论的核心概念伽罗瓦群被抽象为有理数域有限扩张的自同构群，戴德金通过域自身的结构定义了伽罗瓦群，摆脱了对方程的依赖，伽罗瓦理论从有关代数方程的理论抽象为有关代数数域的理论。

德国数学家阿廷采纳了戴德金的观点和方法，将伽罗瓦理论从代数数域推广到任意特征的抽象域，完成了伽罗瓦理论的一般化构建"，该理论作为域论的一部分，被建立为关于域的有限扩张和其自同构群的结构的理论。

伽罗瓦理论的一般化，使得它不只局限于代数方程，其理论方法成为数学各领域的重要语言和工具，对整个现代数学的发展起到了重要推动作用。

对伽罗瓦理论的建立及其一般化思想演变的研究，不但可以更加准确细致地理解和掌握该理论及相关学科的发展状况，而且也可以为更加全面地理解代数学乃至整个现代数学的思想演变提供一个极好的视角。