赋范线性空间中有一个正则集和谱集的概念：
以上证明中要注意的是，正则算子是指(λI-B)，λ则是正则点。
在Banach空间X中，线性算子B的谱分析是一个重要的数学工具。
对于任意复数λ，如果方程(λI-A)x=y有唯一解，那么这个解x必然属于X空间。
这是因为谱分析的基本原理要求算子(λI-A)必须是满射，即其值域包含X中的所有元素。由于X是一个Banach空间，它是一个完备的赋范空间，因此算子(λI-A)的逆算子存在且有界，从而保证了方程的解唯一且属于X。
此外，线性算子A的谱理论进一步说明了，对于任何有界线性算子A，其谱集σ(A)是复平面上的一个紧凑集。对于任意的复数λ不属于谱集σ(A)，算子(λI-A)是可逆的，即存在有界逆算子。这意味着对于这样的λ，方程(λI-A)x=y有唯一解，并且解x属于X。
