首先是定义：
但函数列x^ n在[0,1]上的任意闭区间[k,1-k]内是一致收敛的。
证明：令fn(x)=x^n 对[0,1]上的任意内闭区间[k,1-k] 当x∈[k,1-k]时，有f(x)=lim(n->∞) fn(x)=0 任意ε>0，任意x∈[k,1-k]，要使不等式|fn(x)-f(x)|=x^n<=(1-k)^n<ε成立 解得：n>lnε/ln(1-k)
取N=[lnε/ln(1-k)]
于是，对任意ε>0，存在N=[lnε/ln(1-k)]，对所有n>N，任意x∈[k,1-k]，有|fn(x)-f(x)|<ε
即函数列x^n在[0,1]上内闭区间一致收敛。
注意上例中的
不属于[0,1]上的任意内闭区间[k,1-k]。
因此一致收敛性与所讨论的区间有关。
