n维欧几里得空间(n-dimensional Euclidean space)是现实空间的抽象与推广，简称n维欧氏空间。n维欧氏空间在代数中是定义了内积的n维线性空间，记为Rn，其元素是n维向量，即n元有序(实)数值，并利用内积规定向量x的模|x|是其与自身的内积的平方根

。在几何中，借用普通空间中点坐标与其向径作为以原点为起点的向量的坐标相同之例，也把n维欧氏空间的向量看做点而把n维欧氏空间Rn看做点空间，因而也可讨论Rn中的几何图形，如直线、超平面等。在数学分析中，经常借用代数和几何中n维欧氏空间的概念，特别是常使用Rn的向量(元素)x的模|x|的另一名称范数的概念。在提到x∈Rn时常只说x是n元数组而不一定提到它是n维欧氏空间的元素，因而还常把x的模，即范数|x|特别称为x的欧几里得范数。

当m固定时，这里的xm表示n维欧氏空间的一个点。而n维欧氏空间的每一个点都有坐标值，而且是n维的。xk则表示与xm相近的那个点。

则表示第i个维度上两个点之间的距离，当然小于这两个点所有维度的距离之和。

是指n维欧氏空间中不同的点，选取相同的某一维度的坐标值所构成的点列。因为这个点列是柯西列，而实数域内的柯西列必然存在极限。

由此推论，所有不同维度的极限也是n维，当然也属于原来的n维欧氏空间，问题得证。