这是一个“无限阶梯”，其中的每个台阶的高度由斐波那契数列中的数字比率给出。

14年前，数学家杜莎·麦克达夫（Dusa McDuff）和菲利克斯·施伦克（Felix Schlenk）偶然发现了一个隐藏的“几何花园”，现在才开始开花。这对搭档对某种形状很感兴趣，这种形状可以以非常特殊的方式挤压和折叠，然后塞进一个球里。他们想知道：对于某种形状，球需要多大？

他们的同事发现了一种惊人的模式，并在这种模式中发现了的斐波那契数列。斐波那契数列在自然界和数学中一次又一次地出现。例如，它们与黄金比例密切相关；自古希腊以来，人们就在艺术、建筑和自然领域研究黄金比例。

他们里程碑式的研究结果发表在2012年的《数学年鉴》上（数学领域的顶级期刊）。它揭示了具有无限多个台阶的阶梯状结构的存在。在这些“无限阶梯”中，每个台阶的大小是斐波那契数列的比率。

随着楼梯的上升，台阶变得越来越小，楼梯顶部与黄金比例相同。无论是黄金比例还是斐波那契数，都与在球内部拟合形状的问题没有任何明显的关系。在麦克达夫和施伦克的研究中发现这些数字是很奇怪的。

今年早些时候，麦克达夫发现了这一谜团的另一条线索。她和其他几个人不仅展示了无限多的楼梯，而且还展示了复杂的分形结构。这项工作揭示了数学中看似无关的领域中隐藏的模式，这表明一些重要的事情正在被揭晓。

运动的形状

这些问题不会发生在欧几里德几何空间中，欧式空间中物体的形状不会改变。相反，它们是根据辛几何的奇怪规则运作的，在辛几何中，形状代表物理系统。例如，考虑一个简单的钟摆。在任何给定的时刻，钟摆的物理状态由它的位置和运动速度决定。如果画出这两个值的所有可能性——钟摆的位置和速度——你会得到一个辛形状，看起来像一个无限长的圆柱体的表面。

辛几何（symplectic geometry）是数学中微分几何领域的分支领域，是研究辛流形的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。 不同于微分几何中的另一大分支——黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

你可以修改辛形，但只能以非常特殊的方式。最终结果必须反映相同的系统。唯一能改变的是你衡量它的方式。这些规则确保你不会搞乱基础物理。

无限的楼梯

几何中的一个“嵌入”问题导致了斐波那契数列的产生，斐波那契数列是一种数列，通过将前两个数字相加产生下一个数字。

取一个辛椭球phi，具有一定的偏心率a，它能装入多大的球（半径为c）？

a和c之间的关系显示了一个阶梯状的图，其中台阶高度与斐波那契数列相关。

按如下规律取斐波那契数列中的比值c，

这些比值就是楼梯的高度，趋近于黄金比例的幂，

麦克达夫和施伦克一直试图弄清楚他们什么时候能把辛椭球放进一个球里。这种类型的问题，被称为嵌入问题，在欧氏几何中非常简单，在欧氏几何中，形状不会弯曲。

辛几何则更加复杂。在辛几何中，答案取决于椭球体的“偏心率”，一个代表它的拉长程度的数字。高偏心率的细长形状可以很容易地折叠成更紧凑的形状，就像蛇盘绕起来一样。当离心率较小时，事情就不那么简单了。

麦克达夫和施伦克在2012年的论文中计算了能够容纳各种椭球的最小球的半径。他们的解决方案类似于基于斐波那契数列的无限阶梯。数学家们想知道：如果试着把你的椭球体嵌入除球以外的物体中，比如四维立方体，会怎么样？会出现更多无限的楼梯吗？

分形

霍尔姆和她的合作者安娜·丽塔·皮雷组成了一个工作组，他们开始将椭球体嵌入一种有无限多种化身的形状中——最终允许他们制造无限多的楼梯。

杜莎·麦克达夫

注意，辛形状代表一个运动物体的系统。一个物体的物理状态使用两个量（位置和速度）表示，因此辛形状总是用偶数个变量来描述。换句话说，它们是偶数维的。由于二维形状只表示一个物体沿着固定的路径移动，四维或更多维的形状更能引起数学家的注意。

但是四维的形状是无法可视化的，这严重限制了数学家的研究。但研究人员可以绘制至少能捕捉到一些形状信息的二维图像。根据创作这些2D图片的规则，一个四维的球变成了一个直角三角形。

霍尔姆和皮雷团队分析的形状被称为Hirzebruch曲面。每个Hirzebruch曲面都是通过切掉这个直角三角形的上角得到的。一个数字，b，表示你切掉了多少。当b = 0时，表示没有切；当它等于1时，表示几乎切掉了整个三角形。

在2020年10月，他们发表了一篇论文，为b的特定值挖掘了无限个楼梯。

要创建康托集，从线段开始。去掉中间的三分之一，然后去掉剩下的每个片段的中间的三分之一。重复无数次，直到最后只剩下一组单独的点。

今年3月，麦克达夫和维勒几乎完成了分析椭球体嵌入Hirzebruch曲面的项目。霍尔姆说

这太神奇了！

他们还惊奇地发现了另一个东西。如果你观察所有出现无限阶梯的b值，你会得到一种分形结构——一种具有违背常识特征的点的排列。它被称为康托集，比有理数有更多的点——但不知何故，康托集的点更分散。

尽管新的研究比以往的任何结果都产生了更多的无限阶梯，辛嵌入及其伴随的阶梯仍然是一个谜，因为Hirzebruch曲面只包含了可能的辛形状的一小部分。