几何学的最基本的图形之一是环面，这是一个轮胎形的曲面。如果想要作一个环面，可以取一个正方形，并且先把它的一对对边，例如，上下对边粘起来，这样就得到了一个柱面，然后再把它的另外一对对边（即原来正方形的左右对边）粘起来，就得到了环面。

下面是环面的更加数学化的作法。我们从通常的(x，y)坐标平面开始，在其中作以四点(0，0)，(1，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的正方形，它是由坐标适合0≤x≤1，0≤y≤1的点构成的。可以在水平和铅直两个方向上移动这个正方形。如果在水平方向移动m个单位，在铅直方向上移动n个单位，这里m和n是整数，就会得到由坐标适合下面的不等式的点所成的正方形：m≤x≤m+1，n≤y≤n+1。当m和n遍取一切整数值时，这个正方形的复本就构成整个平面的一个铺砖结构（tessellation，或者说平面被铺上了砖），而在每一个坐标为整数的点，有4个正方形相会。如果把这些小正方形黑白相间地图上颜色，就会得到一个无限大的国际象棋棋盘。

要做一个环面，就需要把某些不同的点等同起来。我们说点(x，y)和(x'，y')相应于某个新图形上的同一点，如果x-x'，y-y'都是整数。要想看一下这个新图形究竟是什么样，就要注意，平面上的每个点都相应于原来的正方形的一个内点或边界上的点。此外，如果x和y都不是整数，则(x，y)相应于正方形的恰好一个内点。所以新图形看起来很像原来的正方形，但是(1/4，0)和(1/4，1)这两个点又如何？它们相应于新图形的同一点，原来的正方形的上下对边的相应点也都相应于新图形的同一点。所以，在新图形中，要把原来正方形的上下两边等同起来。用类似的论证知道左右两对边也要等同起来。因此当把各个点按上述规则等同以后，就得到了环面。

如果这样作出了环面，就可以这样来在环面上作图：只要在原来的正方形上作图，再把相应点等同起来就行了；正方形上的长度与环面上的长度相应，而且准确地相等。老式的滚筒印刷机就是这样工作的：滚筒上涂了油墨的图形滚过纸张，就印出了完全一样的图形。

这样，就小图形而言，环面上的几何学就是欧几里得几何学。用数学语言就说，环面上的几何学是由平面上的几何学诱导而来，所以环面是局部欧几里得的。当然，整体而言二者很不相同，例如在环面上，可以作出不能收缩为一点的封闭曲线，而在平面上就不会有这种事情。

还要注意，我们引进了一个群来为我们完成了大部分工作。在现在的情况，这个群就是整数对(m，n)所成的群，而定义

环面和球面只不过是无穷多种以下的曲面中的两个例子，这些曲面是封闭的（就是说，没有边缘），又是紧的（就是说它们在任何意义下也不会走向无穷）。其他的例子则有：两个孔的环面，以及更一般的具有n个孔的环面（即亏格为2，3，4，…的曲面）。要想类似地生成这些曲面，就要用到富克斯群（Fuchsian Groups）。

在数学中，特别是在复分析和代数几何中，"亏格"（genus）是一个用于描述曲面拓扑类型的重要参数。对于紧致的，连通的，定向的二维实曲面（或者等价的，复一维的Riemann曲面），它的亏格定义为它的"手柄"的个数。形象地说，亏格为0的曲面类似于球面，亏格为1的曲面类似于甜甜圈（或称之为圆环面），亏格为2的曲面类似于有两个洞的甜甜圈，等等。

亏格是一个拓扑不变量，也就是说，如果两个曲面可以通过连续的弯曲和拉伸，而无需撕裂或者粘贴，从一个变为另一个，那么这两个曲面的亏格就是相同的。

我们自然会期望，利用多于4边的多边形就能得出其他曲面。结果是，如果利用8边形，例如正8边形，并把边1和3粘在一起，2和4粘在一起，5和7粘在一起，6和8粘在一起，就会得到一个具有两个孔的环面。我们怎样用群来做这件事，就如刚才对于环面所做的那样？为此我们需要有一种方法，把许多8边形连到一起，使得它们只在边上相接。问题在于我们不能用8边形来作出平面的铺砖结构：正8边形的顶角为135°。这个角太大了，不可能把8个正8边形在一点粘到一起。

这里前进的道路是采用双曲几何学来代替欧几里得几何学。但是，我们可以徒手来做这件事。在复平面上取单位圆盘

取所谓莫比乌斯变换的群，而莫比乌斯变换，就是形如

的映射，经过常规的计算就知道，这些变化把圆周和直线映为圆周和直线（这两种曲线要视为同一种，所以圆周也可以被映为直线，或者相反），它们把角映为大小相等，而且方向也相同的角。还有一些变换是把角映为大小相等但符号相反的角，好像平面上的反射那样，如果取把D映为自身的莫比乌斯变换，就得到一个群，记为G。事实上，我们已经很接近于富克斯群了。

我们要找一个图形，使它在这里起到正方形在欧几里得平面上所起的作用。正如我们在上面把圆周和直线视为相同曲线一样，现在视D的直径和垂直于D的边缘的圆弧为相同的曲线，则G中的元素映垂直于D的边缘的圆弧（包括直径）为垂直于D的边缘的圆弧（包括直径）。

我们以后就以垂直于D的边缘的圆弧（包括直径）为直线，其实是非欧几里得的直线，并以8条这样的非欧几里得直线为边作出（非欧几里得）八边形。这种八边形的作法有许多，我们要选择最具对称性的一种，使得以后事情更加容易。即要画一个以D的中心为心的“正八边形”。这里还有进一步选择的余地，因为按照双曲几何学中多边形的角的亏值正比于其面积的著名定理，八边形面积越大，其顶角就越小，我们要画的是顶角为π/4的正八边形，这样一来就可以让8个这样的正八边形汇聚在一个顶点处，这就是我们需要的正八边形。如果我们把不同的多边形在不同位置的相应的点等同起来，所得的图形就是一个亏格为2的黎曼曲面。

黎曼曲面（Riemann Surface）是复分析和微分几何中的一个基本概念。它是一种特殊的二维复流形，可以被看作是一系列复平面（或者称为“图表”）按照某种规则拼接而成的空间。

富克斯群就是群G（即变D为其自身的莫比乌斯变换所成的群）的这样的元所成的子群。这些元能把上面得到的正八边形“整块地”移动，使得我们就能做出D的一个铺砖结构。和在环面的情况一样，现在也有了等价点（即在不同“砖块”中占有相应位置上的点）的概念，当把等价的点等同起来以后，就会得到最前面说的把多边形的不同的边粘连起来得到的图形。这就是我们需要的图形。

所有这些都可以用双曲几何学的语言来描述。我们得到的将是双曲几何学的圆盘模型，它也可以用D上的一种黎曼度量来定义，这个度量就是

G的元素将把图形在D中移来移去，但保持双曲距离不变。由此可知，在新的曲面（即把不同的对应点等同起来得到的图形）上得到的几何学是局部双曲的几何学，正如在环面上得到的几何学是局部欧几里得几何学一样。

因此，如果从正4n（n>2）边形开始，并按上面的方法进行，就会得到亏格为n的黎曼曲面，但是数学家们能做的事情还更多，如果回到平面，但是不从正方形开始，而从矩形开始，或者更加一般地从平行四边形开始，想要看出上面的做法可以继续实行下去，这不算太难。事实上，如果从一个适当的角度来看平面，而不是从平面的铅直上方来看这个平面，则正方形也就会变成任意选择的平行四边形（可能会放大或缩小一点）。

如果用的是平行四边形，仍然会得到一个环面，不过与最早得到的环面不同，其区别正如正方形和平行四边形的区别一样：顶角的大小发生了变化。下面是一个不算是完全平凡不足道的习题：证明平行四边形的保持顶角大小不变的映射只能是相似变换（就是在两个独立的方向上缩放的比例相同，从而在一切方向上缩放比例相同的变换）。所以得出的环面在什么角度上有不同的意义，就是说，这样得出的环面与原来的环面有不同的共形结构。

在双曲圆盘上也会发生同样的事。如果取一个4n边多边形（它的边是一段测地线），而且其边长成对地相等，并能找到一个群，其元素能把这些多边形成块地移动，使得适当的边准确地相配，则又会得到一个黎曼曲面。但是，若这些多边形不是共形等价的，则所得黎曼曲面也会有不同的共形结构。甚至还可以向前再走一步，允许某些顶点位于圆盘的边缘上，这时，多边形的相应的边的长度在双曲度量下将会是无穷大。这样得到的图形是“挖掉一点”的黎曼曲面，而数学家们又可以改变它的共形结构。

富克斯群的基本重要性来自单值化定理，这个定理指出，除了最简单的以外，所有的黎曼曲面都是按照上述方式来自某个富克斯群，这里面包括了所有亏格大于1的黎曼曲面和所有亏格为1但挖掉了一点的黎曼曲面，并允许它们具有任意可能的共形结构。

富克斯群这个名词是庞加菜在1881年给出的，那时，他正在研究超几何方程和相关的微分方程，而这是受到了德国数学家富克斯（Immanuel Lazarus Fuchs）的工作的启发。克莱因提出了抗议，认为以施瓦兹命名更好，庞加莱在读了施瓦兹相关的文章以后，本来也准备同意这样做，但是那时，富克斯也已经赞成用这个名字。但是克莱因的抗议有点过分，于是庞加莱又把研究3维单位球体的共形映射所产生的一个类似的群公开称为克莱因群。这些名字一直沿用至今。但是克莱因群的研究要困难得多，而克莱因和庞加莱对此都没有能做多少事情。但是每一个黎曼曲面都来自球面或者欧几里得平面或者双曲平面，这是他们二人都具有的猜测。但是严格的证明，直到1907年才由庞加莱和寇贝独立地给出。

富克斯群的形式定义如下：所有莫比乌斯变换所成的群的一个子群H称为不连续作用的，如果对于圆盘D的每一个紧集合K，h(K)和K都是互相分离的，除了对于有限多个h∈H例外。富克斯群就是所有的不连续作用于D的莫比乌斯变换所成的群。