①函数的意义 我们再来研究上面举过的那些例子。在例1里,两个变量 W 和 V 之间存在着一定的关系,就是,当 V 变化的时候, W 也随着变化,并且当V取定一个确定的值的时候(例如5), W 也随着取得一个确定的值(例如39).同样,在例2里,当x变化的时候, y 也随着变化, x 取定某一个确定的值的时候, y 也随着取得一个确定的值;等等。
在数学里,我们把两个变量间这种依存关系,叫做函数关系.
仔细观察这些例子,还可以看到,在同一个问题里的两个变量,在问题的研究过程中,所处的地位是不同的。例如在例1中,我们首先考虑的是变量 V 的变化,然后根据它所取的值来决定这时另一变量 W 的值;在例2中,我们首先考虑的是变量 x 的值,然后根据它所取的值来决定这时另一个变量 y 的值。我们把问题研究过程中处在前一种地位的变量,叫做自变量,而把处在后一种地位的变量,叫做因变量,或者叫做自变量的函数。例如,在:
W =7.8V里, V 是自变量, W 是 V 的函数;
y =0.6x里, x 是自变量, y 是 x 的函数。
同样,在
s=2+2/3 t 里, t 是自变量,s是 t 的函数;
A =πr²里, r 是自变量, A 是 r 的函数。
一般地说:
如果有两个变量,按照某一个法则联系着,当第一个变量在它的可取值范围里,取每一个确定的值,第二个变量就相应地取得一个确定的值;这时我们把第一个变量叫做自变量,第二个变量叫做这个自变量的函数。
②函数的记号 研究两个变量y和x间的函数关系时,语句" y 是x的函数"通常可以用记号
y=f(x),或者 y=F(x)
等等简单地表示.这里括号里的字母x表示自变量,括号外边的字母 f 或者 F ,表示把 y 和x这两个变量联系起来的法则,也就是怎样从自变量x的值求出它的函数 y 的值的法则.
注意(1)式子y=f(x)只指出 y 是 x 的函数这个事实,但是 y 和x这两个变量究竟怎样联系起来的,从这个式子中是看不出来的。
(2)在同时研究几个不同的函数时,括号外边的字母应该不同。例如圆的周长 C 和面积A都是圆的半径 r 的函数,但是联系的法则是不同的。我们知道:
C =2πr,
但是 A =πr².
当同时研究这两个函数关系时,如果我们用记号
A=f(r)
来表示圆的面积是圆的半径 r 的函数,那末,圆的周长是圆的半径 r 的函数,就应该用另一个记号,例如
C=F(r)
来表示。
例 已知在匀速运动中距离s、速度v和时间 t 之间,有下面的关系:
s = vt .
(1)如果速度不变,这个式子里哪一个变量是自变量,哪一个变量是自变量的函数?并且用函数记号表示出来.
(2)如果时间不变呢?
(3)如果距离不变,怎样表示速度是时间的函数?
【解】(1)如果速度不变,那末这个式子就表示距离s是时间t的函数, t 是自变量,用记号来表示就是
s=f(t).
(2)如果时间不变,那末这个式子就表示距离s是速度v的函数, v 是自变量,用记号来表示就是
s=F(v).
(3)如果距离不变,我们有
这就表示速度 v 是时间 t 的函数, t 是自变量,用记号来表示就是
v=g(t).
习题2.21.轮子每分钟旋转60转,写出轮子旋转的转数 n 和时间 t 之间的函数关系:
(1)把时间 t 作为自变量;
(2)把转数 n 作为自变量.
2.两个变量 x 和 y 是用下面的关系式联系起来的,把它们的关系分别写成 y=f(x)的形式:
(1) 3x-4y=12; (2) xy =6;
(3) y-x³=0; (4) y³-x=0;
(6)(x+2)(y-3)=6.
解法举例:
补充说明初中课本的函数定义:在某变化过程中有两个变量x和y,如果对x的每一个值,y都有惟一的值与它对应,那么说x是自变量,y是x的函数。
高中课本的函数定义:设A、B都是非空的数的集合,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.
原象集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(C⊆B)叫做函数y=f(x)的值域。
科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。
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下期预告:§2.3 函数的定义域