高斯

上个世纪八十年代，陈景润在《数理化生园地》撰文介绍德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss，1777～1855)还是一个小学生的时候，做过的一道算术题：

1+2+3+...+100=？

数学老师想休息一下，结果小高斯没有让他如愿。没有费多少工夫，小高斯就走上讲台，把写着答案的石板交给老师。

这道算术题从练习珠算的角度来说是基本功，练习过的不但知道答案是5050，还知道加到36的时候，得数是666，如果不是，那么你拨珠的过程肯定出错了。

这道题除了高斯的方法，还可以用梯形面积公式来计算。

等差数列的首项是1，即梯形的上底，末项为100，即梯形的下底，项数是100，即梯形的高，套公式就行了：

(1+100)×100÷2=5050

等差数列求和与梯形面积

原理：等差数列的公差就是直线的斜率，n项求和，就是求n项直线之下的面积。

现在我们来升级难度。先上一道开胃菜。

题目呈现

1+2+3+...+99+100+99+...+3+2+1=？

如果没有找到解题思路，可以试试找规律。

这道题有计算公式，我们把它称为山顶和公式。

山顶和公式：山顶和=山顶的平方1+2+3+······+n+······+3+2+1=n²

其实道理很简单，就是说任意两个连续的三角数相加，就得到一个完全平方数。比如说第二个三角数3加上第三个三角数6，就得到第三个平方数9。

找到了规律，就能归纳总结出公式。于是难题变成了口答题：答案当然是100²=10000啦。

难度再次升级。

题目呈现：心算下面的计算题。

1³+2³+3³+...+100³=？

在解题之前，先谈谈预备知识。为什么末位数是5的两位数的平方可以速算？

如果你不用笔算，能很快说出一个末位数是5的两位数的平方数吗？

例如，35的平方是多少？

这类题目，我们利用代数的知识，就可以速算。末位数是5的两位数平方，就等于用比十位数大1的数乘以十位数，再在所得的积后加25.

请看：35的平方，等于十位数3加1后，乘以十位数3，即

(3+1)×3=12，再在这乘积12的后面写上25就行了，也就是1225。

为什么这样速算是对的呢？

原来，任何一个末位数是5的两位数都可以写成10a+5，其中a代表十位数。

我们知道代数恒等式：

(a+b)²=a²+2ab+b²。

因此，末位数是5的两位数的平方都可以写成：

(10a+5)²=100a²+2×5×10a+25

=100a²+100a+25

=100a(a+1)+25

=a(a+1)×100+25。

也就是用a乘以比a大1的数(a+1)，然后在它的后面写上25，就得到它的平方数了。这也就是我们所说的速算法的根据。

举一反三，末位数是5的三位数的平方也可以速算。

现在可以心算了。过程如下图所示。

有的同学会说，我遇到这类计算题，都是用数学软件计算。

举个例子。

另外，顺便说一下，前100个自然数的平方和是多少呢？请看下图：

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。