共轭空间的概念在数学中，特别是在泛函分析中，涉及到对于给定空间的所有线性泛函的集合。

下面证明Lp的共轭空间是Lq。

这个问题的证明比较复杂，一共分以下几步。

第一步，先假设给定一个函数y(t)，然后对y(t)进行泛函∫x(t)。

对于泛函∫x(t)，将ky(t)和y1+y2代入积分，∫x(t)明显符合加法运算和数乘运算，所以∫x(t)是一个线性泛函。同时因为||y||q是一个数字，所以f(x)是一个有界线性泛函。

这里的证明其实是把

整体当作一个泛函符号看待。

这一步的意思就是，在假设泛函∫x(t)满足牛顿-莱布尼茨公式的前提下，验证对于不同的函数y(t)这个泛函是一个线性泛函。

因为不是线性泛函的话就不一定存在一一对应的关系，共轭空间也就无从谈起。

第二步，假设给定任意一个线性泛函f(x)，然后验证这个泛函本身要满足牛顿-莱布尼茨公式。

为了达到这个目的，就必须对f(x)进行分析。

作者在《有界线性泛函的积分性质》一文中，已经证明对于所有的阶梯函数x(t)，

有界线性泛函f(x)可以写成：

图1

对于Lp空间的f(x)，

上图的附5.2指如下定理：

附5.3是指：

由图1，得到：

接下来证明Lp空间的共轭性质。

这里用到1/p+1/q=1即q=pq-p的条件。

上图是指有界函数逼近。

下面用到了Lp空间可分性的定理：

5.2.17的结论是因为下图，并且n趋于无穷时，f(xn)=f(x)。

以上第4步第5步的目的就是，假设存在Lp空间的有界线性泛函f(x)，则一定可以找到相对应的Lq空间的y(t)，使得图1中的等式成立，并具有保范性质||f||=||y||。

因为共轭空间的一一对应特点，最后证明y(t)的唯一性：

上图的证明同样用到了泛函f(x)的线性性质。

Lp空间的共轭空间问题的证明是比较复杂的，要完全理解整个证明过程，须以图1为出发点，大概分为以下几个步骤：

1：假设泛函∫x(t)满足牛顿-莱布尼茨公式的前提下，验证对于不同的函数y(t)这个泛函是一个线性泛函。

2：假设给定任意一个线性泛函f(x)，然后验证这个泛函本身要满足牛顿-莱布尼茨公式。

a: 首先证明有界线性泛函可以表示成图1的形式。

b:在图1的基础上，假设x(t)属于Lp空间，然后求出Lq共轭空间中相对应的y(t)。

c:最后证明保范性和唯一性。

整个证明的核心还是在于图1的证明，即有界线性泛函f(x)是否满足牛顿-莱布尼茨公式。