两个极其相似的数论定理,结论却截然不同

康托的天堂 2021-12-09 22:49:41

你知道吗,如果你在一个定理的条件中只改变一点,会发生什么?在这里,我想向你展示两个非常不可思议的类似的定理,它们会让你明白数学中每个数字和每个符号的重要性。第一个定理是:

对于任何非零自然数n,如果(2^n)-1是一个素数,那么n也是一个素数。

而第二个是:

对于任何非零自然数n,如果(2^n)+1是一个素数,那么n是2的完全幂。

这两个结论是多么的不同。那么,我们来证明第一条定理。定理证明的常见方法之一是矛盾法。1. 假设n现在是一个素数。因此,根据素数定义的否定,n可以表示为两个数字的乘积:

2. 因此我们可以用a^n-b^n因式分解公式重写原表达式:

3. 由于a大于1而不等于n,表达式(2^a)-1大于1并且是(2^n)-1的除数。因此,(2^n)-1不是质数,根据定理的条件,这是错误的。矛盾!因此该定理为真。现在我们来证明第二条定理,使用同样的方法。1. 假设n不是2的完全幂。因此n可以表示为2^k的乘积,其中k为非负整数,a为奇数:

2. 因此,我们可以重写原表达式:

3. 由于(2^n)+1能被2^(2^k)+1整除,所以它不是一个素数。矛盾!因此n是2的一个完全幂。正如你所看到的,如果在定理的条件中只改变一个符号,你可以得到一个极其不同的结论。因此我们应该谨慎对待数学。

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评论列表

峰回路转

峰回路转

30
2021-12-14 15:50

给我推这种文章是几个意思?大数据觉得我能看懂?!

高跳低开 回复 12-22 12:59
大数据只是想敲打敲打你[吃瓜]

心中无女人搬砖自然神 回复 01-26 11:51
大数据觉得你会回复[笑着哭]

秋风暮霞

秋风暮霞

11
2021-12-10 14:30

Mersenne数和fermat数

理性mind 回复 12-23 15:15
科普一下,翻译过来是:梅森素数和费马数。

用户13xxx60

用户13xxx60

10
2021-12-25 14:11

2 ab -1ab 那个分解完全是错的

华仔爱数学

华仔爱数学

7
2021-12-10 08:55

老胡的文章都是翻译国外英文文章的吧~ 公式中有一点忘记翻译了[得瑟]

忘忧草

忘忧草

5
2022-01-08 20:46

就不能是2n-1+2吗[笑着哭]

风0

风0

5
2022-02-14 17:13

[笑着哭]能告诉我可以应用的场景吗[吃瓜]?

连杰12

连杰12

4
2021-12-10 12:54

好文分享

北京灯光音响

北京灯光音响

4
2022-01-15 21:09

霸气男爵

霸气男爵

4
2022-01-30 09:47

通通的知识,又是怎么样的代表 一样,怎么样的所作所为,一样

第三方登录

第三方登录

3
2022-02-01 11:18

我想到的是:1/(1-x)与 1/(1+x)的麦克劳林展开式[得瑟]

我是一只暖狼

我是一只暖狼

3
2022-02-12 14:14

我表示完全看懂了,幸亏熟读了中华字典[笑着哭]

曲高和寡

曲高和寡

3
2022-02-17 03:14

我只想知道应用在哪里?如果不能应用,价值为负数,因为还要花时间

主没说这一句

主没说这一句

1
2022-01-16 02:21

进来干啥? 催眠?[笑着哭][笑着哭]

狗肉汤浇地有助生长

狗肉汤浇地有助生长

1
2022-01-26 22:22

到因式分解就蒙了

玖月

玖月

1
2022-01-30 13:37

我感觉,还能再分,[笑着哭]

用户18xxx09

用户18xxx09

2022-01-09 08:10

图片有问题

听歌学会了写歌

听歌学会了写歌

2022-01-15 22:07

也就是说,当n≥3时,2^n +1,2^n -1,不可能同时为素数。

午夜的梦魇

午夜的梦魇

2022-01-16 12:37

我就听个学霸的黑科技系统,你给我推送这?我看的懂?

Never

Never

2022-01-15 22:12

吓唬谁呢,扯那么多有用吗?你就直接说多少钱吧

千千万万

千千万万

2022-02-06 14:47

这个辣鸡,丢人。

康托的天堂

康托的天堂

科学如此美妙,我想让你知道