Hausdorff空间的一个典型例子是带有标准拓扑的实数集R。‌在带有标准拓扑的实数集R中，对于任意两个不同的实数a和b，都存在两个不相交的开区间U和V，使得a属于U且b属于V。这是因为实数集R是一个度量空间，满足Hausdorff空间的定义‌。 Hausdorff空间是指在拓扑空间X中，对于任意两个不同的点x和y，都存在两个不相交的开集U和V，使得x属于U且y属于V。这表示任意两个不同的点都可以被开集分离‌。 此外，Hausdorff空间有一些重要的性质和推论。例如，Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。这意味着如果我们有一个Hausdorff空间X和一个它的子空间Y，那么Y也是一个Hausdorff空间‌。另一个重要的性质是，在Hausdorff空间中，每个单点集都是闭集，但这并不意味着每个闭集都是单点集‌。 ‌紧Hausdorff空间的定义是局部紧且满足豪斯多夫条件的拓扑空间。‌ 紧性描述了一个拓扑空间在局部性质和整体性质之间的关联，而豪斯多夫条件确保空间中的点可以由邻域分离‌。 紧性是指任何开覆盖都有有限子覆盖的性质。局部紧性则是指空间中的每一点都存在一个紧凑的邻域。豪斯多夫条件要求空间中的任意两点都有互不相交的邻域‌。 紧Hausdorff空间的一个典型例子是欧氏空间Rn（n维欧几里得空间）。‌ 欧氏空间Rn装备了通常的拓扑，即欧几里得拓扑，这是一个紧Hausdorff空间。具体来说，Rn的闭球是紧凑的，因此整个空间是紧致的。同时，对于任意的两点x和y（x≠y），总存在两个开球U和V，使得x∈U，y∈V且U∩V=∅，这满足了Hausdorff空间的定义‌。