本文通过不定积分凑分法、分部积分法，以及幂函数的导数公式，介绍不定积分∫x^2√(2x+1)dx的计算步骤。

解：∫x^2√(2x+1)dx

=∫x^2(2x+1)^(1/2)dx，对积分微元进行凑分为

=(1/2)∫x^2(2x+1)^(1/2)d(2x+1)，

=(1/3)∫x^2d(2x+1)^(3/2)，使用分部积分法，

=(1/3)x^2(2x+1)^(3/2)-(1/3)∫(2x+1)^(3/2)dx^2，对积分部分进行等式变形，

=(1/3)x^2(2x+1)^(3/2)-(2/3)∫x(2x+1)^(3/2)dx，同理微元部分再次凑分，

=(1/3)x^2(2x+1)^(3/2)-[4/(3*2^2)]∫x(2x+1)^(3/2)d(2x+1)

=(1/3)x^2(2x+1)^(3/2)-[4/(3*2^2)]*(2/5)∫xd(2x+1)^(5/2)+c，对积分部分再次分部积分法，

=(1/3)x^2(2x+1)^(3/2)-[8/(15*2^2)]*(2x+1)^(5/2)+[8/(15*2^2)]∫(2x+1)^(5/2)dx+c。

=(2x+1)^(3/2)[(1/3)x^2-[8/(15*2^2)]*(2x+1)]+[16/(105*2^3)](2x+1)^(7/2)+c

=(2x+1)^(3/2)[(1/3)x^2-[8/(15*2^2)]*(2x+1)+16/(105*2^3)(2x+1)^2]+c.

设√(2x+1)=t，则x=(t^2-1)/2,代入有：

∫x^2√(2x+1)dx

=(1/2)∫(t^2-1)^2td(t^2-1)/2

=(1/2^2)∫(t^2-1)^2td(t^2-1)

=(1/2)∫(t^2-1)^2t^2dt，对积分部分进行展开合并，

=(1/2)∫(t^6-2t^4+t^2)dt，积分部分进行裂项为：

=(1/2)(∫t^6dt-2∫t^4dt+∫t^2dt), 分别对积分部分进行积分，

=(1/2)[t^7/7-(2/5)t^5+(1/3)t^3]+C,提取公因式t^3为

=(1/2)t^3*[t^4/7-(2/5)t^2+1/3]+C，再将x代回，有：

=(1/2)(2x+1)^(3/2)*[(2x+1)^2/7-(2/5)(2x+1)+1/3]+C。